Champ de température d'un brûleur rond : solution analytique

Solution analytique du champ de température dans un plan de cuisson circulaire mince

Pour un plan de cuisson circulaire de rayon R et de puissance P, nous déterminons le champ de température T(r, φ, z, t) en coordonnées cylindriques. Le pôle est placé au centre du plan, et son épaisseur est négligée. Le chauffage est uniforme sur la surface. Il s'agit d'un problème classique de conduction thermique transitoire avec une source ponctuelle intégrée sur la surface.

Nous obtenons la solution par intégration directe de la solution fondamentale de l'équation de la chaleur sur la surface du plan. La symétrie est prise en compte : le champ ne dépend pas de l'angle φ en raison du chauffage uniforme.

Modèle mathématique

L'équation de la chaleur en coordonnées cylindriques :

∂T/∂t = a ∇²T + Q

où a est la diffusivité thermique, et Q est la densité de source thermique. Pour le plan, Q = P/(πR²) δ(z) à l'intérieur du disque r ≤ R.

La solution fondamentale pour une source ponctuelle de puissance q dans un milieu infini :

T(r,t) = q / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-r²/(4 a t))

Ici, ρ est la masse volumique, c la capacité thermique massique, et r la distance depuis la source.

Pour une source distribuée, nous intégrons sur la surface du plan :

T(r, z, t) = ∫∫ [P/(πR²)] / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-R_source²/(4 a t)) r' dr' dφ'

où R_source² = r² + r'² - 2 r r' cos(φ - φ') + z².

Intégration en coordonnées cylindriques

En raison de la symétrie axiale (indépendante de φ), nous simplifions :

T(r, z, t) = (P/(πR² ρ c (4π a t)^{3/2})) ∫_0^R ∫_0^{2π} exp(-(r² + r'² - 2 r r' cos θ + z²)/(4 a t)) r' dθ dr'

L'intégrale intérieure sur θ donne une fonction de Bessel modifiée :

∫_0^{2π} exp(κ cos θ) dθ = 2π I_0(κ)

où κ = 2 r r' / (4 a t), et I_0 est la fonction de Bessel modifiée d'ordre zéro du premier type.

Expression finale :

T(r, z, t) = [P/(R² ρ c (8π a t)^{3/2})] ∫_0^R exp(-(r² + r'² + z²)/(4 a t)) I_0( r r' / (2 a t) ) r' dr'

Représentation en série de la solution

Pour des calculs pratiques, nous passons à un développement en série en utilisant le développement en série de Taylor de I_0. Le champ de température résultant s'exprime sous forme de série de Fourier-Bessel ou d'une expansion similaire.

• Hypothèses clés : milieu infini, pas de conditions aux limites sur le plan, comportement en fonction delta selon z.
• Limites : non valable pour de grands temps (le régime stationnaire nécessite des méthodes alternatives).
• Implémentation numérique : l'intégrale est calculée par des règles de quadrature ou des méthodes de Monte Carlo pour des géométries complexes.
• Validation : comparaison avec des modèles FEM (COMSOL, ANSYS) montre une convergence pour t > 0,1 s.

Quand t → 0, le champ tend vers un profil gaussien ; quand t → ∞, il converge vers la solution stationnaire de Poisson.

Points clés

• Le champ de température T(r, z, t) est obtenu analytiquement en intégrant la solution fondamentale sur un disque de rayon R.
• La symétrie réduit l'intégrale double à une intégrale simple impliquant la fonction de Bessel I_0.
• La forme en série convient à l'analyse numérique mais pas au régime stationnaire.
• Appliquable à la modélisation de sources thermiques minces en électronique et en science des matériaux.
• Nécessite une extension pour les frontières finies et les effets convectifs.

— Editorial Team