Campo de temperatura de un quemador redondo: solución analítica

Solución analítica del campo de temperatura en una vitrocerámica circular delgada

Para una vitrocerámica circular de radio R con potencia P, determinamos el campo de temperatura T(r, φ, z, t) en coordenadas cilíndricas. El foco se sitúa en el centro de la vitrocerámica, y su espesor se desprecia. El calentamiento es uniforme sobre la superficie. Este es un problema clásico de conducción transitoria de calor con fuente puntual integrada sobre la superficie.

Derivamos la solución mediante integración directa de la solución fundamental de la ecuación del calor sobre el área de la vitrocerámica. Se tiene en cuenta la simetría: el campo no depende del ángulo φ debido al calentamiento uniforme.

Modelo matemático

La ecuación del calor en coordenadas cilíndricas:

∂T/∂t = a ∇²T + Q

donde a es la difusividad térmica, y Q es la densidad de fuente de calor. Para la vitrocerámica, Q = P/(πR²) δ(z) dentro del disco r ≤ R.

La solución fundamental para una fuente puntual de potencia q en un medio infinito:

T(r,t) = q / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-r²/(4 a t))

Aquí, ρ es la densidad, c es la capacidad calorífica específica, y r es la distancia desde la fuente.

Para una fuente distribuida, integramos sobre el área de la vitrocerámica:

T(r, z, t) = ∫∫ [P/(πR²)] / (ρ c (4π a t)^{3/2}) exp(-R_source²/(4 a t)) r' dr' dφ'

donde R_source² = r² + r'² - 2 r r' cos(φ - φ') + z².

Integración en coordenadas cilíndricas

Debido a la simetría axial (independiente de φ), simplificamos:

T(r, z, t) = (P/(πR² ρ c (4π a t)^{3/2})) ∫_0^R ∫_0^{2π} exp(-(r² + r'² - 2 r r' cos θ + z²)/(4 a t)) r' dθ dr'

La integral interna sobre θ da como resultado una función de Bessel modificada:

∫_0^{2π} exp(κ cos θ) dθ = 2π I_0(κ)

donde κ = 2 r r' / (4 a t), y I_0 es la función de Bessel modificada de primer tipo y orden cero.

Expresión final:

T(r, z, t) = [P/(R² ρ c (8π a t)^{3/2})] ∫_0^R exp(-(r² + r'² + z²)/(4 a t)) I_0( r r' / (2 a t) ) r' dr'

Representación en serie de la solución

Para cálculos prácticos, pasamos a una expansión en serie usando la serie de Taylor de I_0. El campo de temperatura resultante se expresa como una serie de Fourier-Bessel o una expansión similar.

• Supuestos clave: medio infinito, sin condiciones de contorno en la vitrocerámica, comportamiento delta en z.
• Limitaciones: no válido para tiempos grandes (el estado estacionario requiere métodos alternativos).
• Implementación numérica: la integral se calcula mediante reglas de cuadratura o métodos Monte Carlo para geometrías complejas.
• Validación: comparación con modelos FEM (COMSOL, ANSYS) muestra convergencia para t > 0.1 s.

A medida que t → 0, el campo tiende a una distribución gaussiana; cuando t → ∞, converge a la solución de Poisson en régimen permanente.

Conclusiones clave

• El campo de temperatura T(r, z, t) se deriva analíticamente integrando la solución fundamental sobre un disco de radio R.
• La simetría reduce la integral doble a una integral simple que involucra la función de Bessel I_0.
• La forma en serie es adecuada para análisis numérico, pero no para condiciones estacionarias.
• Es aplicable al modelado de fuentes térmicas delgadas en electrónica y ciencia de materiales.
• Requiere extensión para límites finitos y efectos convectivos.

— Editorial Team