Binomický test: výpočet a interpretace

Binomický test: formulace, výpočet kritických oblastí a interpretace na reálných datech

Binomický test se používá k ověření hypotézy o pravděpodobnosti úspěchu v řadě nezávislých Bernoulliho pokusů. Testovací statistika je počet úspěchů Y ~ Bin(n, p), kde n je velikost vzorku a p pravděpodobnost úspěchu.

Prozkoumejme datový soubor Amazon Top 50 Bestselling Books (2009–2019): 550 knih s označením žánrů Fiction/Non Fiction. Nulová hypotéza H₀: p = 0,5 (stejný podíl beletrie a odborné literatury). Alternativy: H₁: p > 0,5 (pravostranná), p < 0,5 (levostranná), p ≠ 0,5 (oboustranná).

Úroveň významnosti α = 0,05. Testovací statistika: T = ∑ I{x_i = 1}, kde x_i = 1 pro Fiction.

Formulace hypotéz a chyby

Při ověřování se zúčastňují H₀ (výchozí) a H₁ (alternativní). Rozhodnutí: zamítnout H₀ nebo ne.

Typy chyb:

• Chyba I. druhu (α): zamítnutí správné H₀ (falešně pozitivní).
• Chyba II. druhu (β): nezamítnutí nesprávné H₀ (falešně negativní).

| Situace | H₀ správná | H₀ nesprávná |

|---------|------------|---------------|

| H₀ zamítnuta | α | 1−β (výkon) |

| H₀ ne zamítnuta | 1−α | β |

α = 0,05 je standardní kompromis.

Rozložení statistiky

Každý pokus je Bernoulliho X_i ~ Bern(p): P(X=1) = p (beletrie), P(X=0) = 1−p.

Y = ∑ X_i ~ Bin(n=550, p), *P(Y=k) = C(550,k) p^k (1-p)^(550-k)*.

Pod H₀: p=0,5 je symetrické rozložení.

Kritické oblasti

Pravostranná (H₁: p > 0,5):

Kritická oblast K = {k ≥ r}, kde r je nejmenší celé číslo s P(Y ≥ r | H₀) ≤ 0,05.

r = 295: *∑_{i=295}^{550} C(550,i) 0,5^{550} ≤ 0,05**.

Levostranná (H₁: p < 0,5):

K = {k ≤ l}, l je největší s P(Y ≤ l | H₀) ≤ 0,05.

l = 255.

Oboustranná (H₁: p ≠ 0,5):

K = {k ≤ 241} ∪ {k ≥ 309}, kde každá ocasová pravděpodobnost ≤ 0,025.

Zpracování dat a pozorovaná statistika

import pandas as pd
df = pd.read_csv("bestsellers with categories.csv")
bins = df['Genre'].value_counts().tolist()
print(bins)  # [310, 240]

Beletrie: 310, Odborná literatura: 240. Pozorovaná statistika t_pozor = 310.

Interpretace výsledků

Pravostranná: 310 > 295 → H₀ zamítnuta (p > 0,5).

Levostranná: 310 > 255 → H₀ ne zamítnuta.

Oboustranná: 310 ≥ 309 → H₀ zamítnuta (p ≠ 0,5).

Závěr: beletrie dominuje v žebříčku bestsellerů (56,4 % vs 43,6 %).

Co je důležité

• Binomický test je vhodný pro binární výsledky s pevným n.
• Kritické hodnoty pro Bin(550, 0,5), α=0,05: 295 (pra.), 255 (lev.), 241/309 (oboustr.).
• t_pozor=310 zamítá H₀: p=0,5 ve prospěch p>0,5.
• Chyba I. druhu (α=0,05) je kontrolována, výkon závisí na skutečném p.
• Pro velké n lze použít normální aproximaci, ale přesný test je lepší.

— Editorial Team