二项测试：计算与解释

# 二项式检验：设置、临界区与实际分析

二项式检验用于检验一系列独立伯努利试验中成功概率的假设。检验统计量是成功次数 Y ~ Bin(n, p)，其中 n 为样本大小，p 为成功概率。

我们使用亚马逊畅销书 Top 50 数据集（2009–2019）：550 本图书，标记为小说或非小说。原假设 H₀: p = 0.5（小说与非小说占比相等）。备择假设：H₁: p > 0.5（右尾）、p < 0.5（左尾）或 p ≠ 0.5（双尾）。

显著性水平 α = 0.05。检验统计量：T = ∑ I{x_i = 1}，其中 x_i = 1 表示小说。

假设设置与错误类型

假设检验涉及原假设 H₀ 和备择假设 H₁。决策：拒绝 H₀ 或不拒绝 H₀。

错误类型：

• 第一类错误 (α)：拒绝真实的 H₀（假阳性）。
• 第二类错误 (β)：不拒绝错误的 H₀（假阴性）。

| 情景 | H₀ 成立 | H₀ 不成立 |

|------|---------|-----------|

| 拒绝 H₀ | α | 1−β (检验功效) |

| 不拒绝 H₀ | 1−α | β |

α = 0.05 是标准权衡值。

检验统计量分布

每个试验服从伯努利分布：X_i ~ Bern(p)，P(X=1) = p（小说），P(X=0) = 1−p。

Y = ∑ X_i ~ Bin(n=550, p)，P(Y=k) = C(550,k) × p^k × (1-p)^(550-k)。

在 H₀ (p=0.5) 下，分布对称。

临界区

右尾检验 (H₁: p > 0.5)：

临界区 K = {k ≥ r}，r 为满足 P(Y ≥ r | H₀) ≤ 0.05 的最小整数。

r = 295：∑_{i=295}^{550} C(550,i) × 0.5^{550} ≤ 0.05。

左尾检验 (H₁: p < 0.5)：

K = {k ≤ l}，l 为满足 P(Y ≤ l | H₀) ≤ 0.05 的最大整数。

l = 255。

双尾检验 (H₁: p ≠ 0.5)：

K = {k ≤ 241} ∪ {k ≥ 309}，每尾概率 ≤ 0.025。

数据处理与观测统计量

import pandas as pd
df = pd.read_csv("bestsellers with categories.csv")
bins = df['Genre'].value_counts().tolist()
print(bins)  # [310, 240]

小说：310，非小说：240。观测统计量 t_obs = 310。

结果解释

右尾检验： 310 > 295 → 拒绝 H₀ (p > 0.5)。

左尾检验： 310 > 255 → 不拒绝 H₀。

双尾检验： 310 ≥ 309 → 拒绝 H₀ (p ≠ 0.5)。

结论：小说主导畅销书榜单（56.4% vs. 43.6%）。

关键要点

• 二项式检验适用于固定 n 的二元结果。
• Bin(550, 0.5) 在 α=0.05 下的临界值：295（右尾）、255（左尾）、241/309（双尾）。
• t_obs=310 拒绝 H₀: p=0.5，转而支持 p>0.5。
• 第一类错误 (α=0.05) 受控；功效取决于真实 p。
• n 较大时可用正态逼近，但精确检验最佳。

— Editorial Team