Test binomialny: obliczenia i interpretacja

# Test binomialny: sformułowanie, obliczanie obszarów krytycznych i interpretacja na rzeczywistych danych

Test binomialny służy do weryfikacji hipotezy dotyczącej parametru sukcesu w sekwencji niezależnych prób Bernoulliego. Statystyką testu jest liczba sukcesów Y ~ Bin(n, p), gdzie n to rozmiar próby, p to prawdopodobieństwo sukcesu.

Rozważmy zbiór danych Amazon Top 50 Bestselling Books (2009–2019): 550 książek z oznaczeniami gatunków Fiction/Non Fiction. Hipoteza zerowa H₀: p = 0,5 (równy udział beletrystyki i literatury faktu). Alternatywy: H₁: p > 0,5 (jednostronna prawostronna), p < 0,5 (jednostronna lewostronna), p ≠ 0,5 (dwustronna).

Poziom istotności α = 0,05. Statystyką testu: T = ∑ I{x_i = 1}, gdzie x_i = 1 dla Fiction.

Sformułowanie hipotez i błędy

W weryfikacji biorą udział H₀ (punkt wyjścia) i H₁ (alternatywa). Decyzje: odrzucić H₀ lub nie odrzucać.

Typy błędów:

• Błąd I rodzaju (α): odrzucenie prawdziwej H₀ (fałszywie pozytywny).
• Błąd II rodzaju (β): nieodrzucenie fałszywej H₀ (fałszywie negatywny).

| Sytuacja | H₀ prawdziwa | H₀ fałszywa |

|----------|--------------|-------------|

| H₀ odrzucana | α | 1−β (moc testu) |

| H₀ nie odrzucana | 1−α | β |

α = 0,05 — standardowy kompromis.

Rozkład statystyki

Każda próba to Bernoulliego X_i ~ Bern(p): P(X=1) = p (Fiction), P(X=0) = 1−p.

Y = ∑ X_i ~ Bin(n=550, p), P(Y=k) = C(550,k) p^k (1-p)^(550-k).

Pod H₀: p=0,5, rozkład symetryczny.

Obszary krytyczne

Jednostronna prawostronna (H₁: p > 0,5):

Obszar krytyczny K = {k ≥ r}, gdzie r — najmniejsza liczba całkowita z P(Y ≥ r | H₀) ≤ 0,05.

r = 295: ∑_{i=295}^{550} C(550,i) * 0,5^{550} ≤ 0,05.

Jednostronna lewostronna (H₁: p < 0,5):

K = {k ≤ l}, l — największa z P(Y ≤ l | H₀) ≤ 0,05.

l = 255.

Dwustronna (H₁: p ≠ 0,5):

K = {k ≤ 241} ∪ {k ≥ 309}, gdzie prawdopodobieństwo każdego ogona ≤ 0,025.

Przetwarzanie danych i statystyka obserwowana

import pandas as pd
df = pd.read_csv("bestsellers with categories.csv")
bins = df['Genre'].value_counts().tolist()
print(bins)  # [310, 240]

Fiction: 310, Non Fiction: 240. Obserwowana statystyka t_obl = 310.

Interpretacja wyników

Jednostronna prawostronna: 310 > 295 → H₀ odrzucana (p > 0,5).

Jednostronna lewostronna: 310 > 255 → H₀ nie odrzucana.

Dwustronna: 310 ≥ 309 → H₀ odrzucana (p ≠ 0,5).

Wniosek: beletrystyka dominuje w rankingu bestsellerów (56,4% vs 43,6%).

Co ważne

• Test binomialny stosowany do binarnych wyników z ustalonym n.
• Wartości krytyczne dla Bin(550, 0,5), α=0,05: 295 (praw.), 255 (lew.), 241/309 (dwustr).
• t_obl=310 odrzuca H₀: p=0,5 na rzecz p>0,5.
• Błąd I rodzaju (α=0,05) kontrolowany, moc zależy od rzeczywistego p.
• Dla dużych n możliwe aproksymacje normalne, ale dokładny test preferowany.

— Editorial Team