Test binomial : calcul et interprétation

# Test binomial : configuration, régions critiques et analyse réelle

Le test binomial vérifie les hypothèses sur la probabilité de succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes. La statistique de test est le nombre de succès Y ~ Bin(n, p), où n est la taille de l'échantillon et p la probabilité de succès.

Nous utilisons le jeu de données Amazon Top 50 Bestselling Books (2009–2019) : 550 livres classés Fiction ou Non-Fiction. Hypothèse nulle H₀ : p = 0,5 (parts égales de fiction et non-fiction). Alternatives : H₁ : p > 0,5 (queue droite), p < 0,5 (queue gauche), ou p ≠ 0,5 (bilatéral).

Niveau de signification α = 0,05. Statistique de test : T = ∑ I{x_i = 1}, où x_i = 1 pour Fiction.

Configuration des hypothèses et erreurs

Le test d'hypothèses repose sur l'hypothèse nulle H₀ et l'alternative H₁. Décisions : rejeter H₀ ou ne pas rejeter.

Types d'erreurs :

• Erreur de type I (α) : Rejeter une H₀ vraie (faux positif).
• Erreur de type II (β) : Ne pas rejeter une H₀ fausse (faux négatif).

| Scénario | H₀ vraie | H₀ fausse |

|----------|----------|-----------|

| Rejeter H₀ | α | 1−β (puissance) |

| Ne pas rejeter H₀ | 1−α | β |

α = 0,05 représente le compromis standard.

Distribution de la statistique de test

Chaque épreuve est de Bernoulli : X_i ~ Bern(p), avec P(X=1) = p (Fiction) et P(X=0) = 1−p.

Y = ∑ X_i ~ Bin(n=550, p), où P(Y=k) = C(550,k) × p^k × (1-p)^(550-k).

Sous H₀ (p=0,5), la distribution est symétrique.

Régions critiques

Queue droite (H₁ : p > 0,5) :

Région critique K = {k ≥ r}, où r est le plus petit entier tel que P(Y ≥ r | H₀) ≤ 0,05.

r = 295 : ∑_{i=295}^{550} C(550,i) × 0,5^{550} ≤ 0,05.

Queue gauche (H₁ : p < 0,5) :

K = {k ≤ l}, où l est le plus grand entier tel que P(Y ≤ l | H₀) ≤ 0,05.

l = 255.

Bilatéral (H₁ : p ≠ 0,5) :

K = {k ≤ 241} ∪ {k ≥ 309}, chaque queue ayant une probabilité ≤ 0,025.

Traitement des données et statistique observée

import pandas as pd
df = pd.read_csv("bestsellers with categories.csv")
bins = df['Genre'].value_counts().tolist()
print(bins)  # [310, 240]

Fiction : 310, Non-Fiction : 240. Statistique observée t_obs = 310.

Interprétation des résultats

Queue droite : 310 > 295 → Rejeter H₀ (p > 0,5).

Queue gauche : 310 > 255 → Ne pas rejeter H₀.

Bilatéral : 310 ≥ 309 → Rejeter H₀ (p ≠ 0,5).

Conclusion : La fiction domine le classement des best-sellers (56,4 % contre 43,6 %).

Points clés

• Le test binomial convient aux résultats binaires avec n fixe.
• Valeurs critiques pour Bin(550, 0,5) à α=0,05 : 295 (droite), 255 (gauche), 241/309 (bilatéral).
• t_obs=310 rejette H₀ : p=0,5 au profit de p>0,5.
• Erreur de type I (α=0,05) contrôlée ; la puissance dépend du vrai p.
• Pour grand n, les approximations normales fonctionnent, mais les tests exacts sont préférables.

— Editorial Team