이항 검정: 계산 및 해석

이항검정: 설정, 임계영역, 실제 데이터 분석

이항검정은 독립적인 베르누이 시행에서 성공 확률에 대한 가설을 검증합니다. 검정통계량은 성공 횟수 Y ~ Bin(n, p)로, n은 표본 크기, p는 성공 확률입니다.

아마존 톱 50 베스트셀러 도서 데이터셋(2009–2019)을 사용하겠습니다: 픽션 또는 논픽션으로 분류된 550권의 도서. 귀무가설 H₀: p = 0.5 (픽션과 논픽션 비율 동일). 대립가설: H₁: p > 0.5 (우측), p < 0.5 (좌측), 또는 p ≠ 0.5 (양측).

유의수준 α = 0.05. 검정통계량: T = ∑ I{x_i = 1}, 여기서 x_i = 1은 픽션.

가설 설정과 오류

가설검정은 귀무가설 H₀와 대립가설 H₁을 포함합니다. 결정: H₀ 기각 또는 기각 실패.

오류 유형:

• 1종 오류 (α): 참인 H₀를 기각 (오탐).
• 2종 오류 (β): 거짓인 H₀를 기각 실패 (미탐).

| 시나리오 | H₀ 참 | H₀ 거짓 |

|----------|--------|----------|

| H₀ 기각 | α | 1−β (검정력) |

| H₀ 기각 실패 | 1−α | β |

α = 0.05가 표준적인 트레이드오프입니다.

검정통계량 분포

각 시행은 베르누이: X_i ~ Bern(p), P(X=1) = p (픽션), P(X=0) = 1−p.

Y = ∑ X_i ~ Bin(n=550, p), P(Y=k) = C(550,k) × p^k × (1-p)^(550-k).

H₀ (p=0.5) 하에서는 분포가 대칭적입니다.

임계영역

우측검정 (H₁: p > 0.5):

임계영역 K = {k ≥ r}, r은 P(Y ≥ r | H₀) ≤ 0.05를 만족하는 최소 정수.

r = 295: ∑_{i=295}^{550} C(550,i) × 0.5^{550} ≤ 0.05.

좌측검정 (H₁: p < 0.5):

K = {k ≤ l}, l은 P(Y ≤ l | H₀) ≤ 0.05를 만족하는 최대 정수.

l = 255.

양측검정 (H₁: p ≠ 0.5):

K = {k ≤ 241} ∪ {k ≥ 309}, 각 꼬리 확률 ≤ 0.025.

데이터 처리와 관측통계량

import pandas as pd
df = pd.read_csv("bestsellers with categories.csv")
bins = df['Genre'].value_counts().tolist()
print(bins)  # [310, 240]

픽션: 310, 논픽션: 240. 관측통계량 t_obs = 310.

결과 해석

우측검정: 310 > 295 → H₀ 기각 (p > 0.5).

좌측검정: 310 > 255 → H₀ 기각 실패.

양측검정: 310 ≥ 309 → H₀ 기각 (p ≠ 0.5).

결론: 베스트셀러 목록에서 픽션이 우세 (56.4% vs. 43.6%).

주요 요점

• 이항검정은 고정 n의 이진 결과에 적합.
• Bin(550, 0.5) α=0.05 임계값: 295 (우측), 255 (좌측), 241/309 (양측).
• t_obs=310은 H₀: p=0.5을 기각하고 p>0.5 채택.
• 1종 오류 (α=0.05) 통제; 검정력은 실제 p에 의존.
• n이 클 때는 정규근사 가능하나, 정확검정이 최선.

— Editorial Team