Binomialtest: Berechnung und Interpretation

# Binomialtest: Aufbau, kritische Bereiche und Praxisanalyse

Der Binomialtest prüft Hypothesen zur Erfolgsquote in einer Reihe unabhängiger Bernoulli-Versuche. Die Teststatistik ist die Anzahl der Erfolge Y ~ Bin(n, p), wobei n die Stichprobengröße und p die Erfolgsquote ist.

Wir nutzen den Datensatz der Amazon Top-50-Bestsellerbücher (2009–2019): 550 Bücher, klassifiziert als Belletristik oder Sachbücher. Nullhypothese H₀: p = 0,5 (gleicher Anteil Belletristik und Sachbücher). Alternativen: H₁: p > 0,5 (rechtsseitig), p < 0,5 (linksseitig) oder p ≠ 0,5 (zweiseitig).

Signifikanzniveau α = 0,05. Teststatistik: T = ∑ I{x_i = 1}, wobei x_i = 1 für Belletristik.

Hypothesenaufbau und Fehler

Das Hypothesentesten umfasst die Nullhypothese H₀ und die Alternativhypothese H₁. Entscheidungen: H₀ verwerfen oder nicht verwerfen.

Fehlerarten:

• Fehler 1. Art (α): Verwerfen einer wahren H₀ (falsch positiv).
• Fehler 2. Art (β): Nicht-Verwerfen einer falschen H₀ (falsch negativ).

| Szenario | H₀ wahr | H₀ falsch |

|----------|---------|-----------|

| H₀ verwerfen | α | 1−β (Teststärke) |

| H₀ nicht verwerfen | 1−α | β |

α = 0,05 ist der Standardkompromiss.

Verteilung der Teststatistik

Jeder Versuch ist Bernoulli-verteilt: X_i ~ Bern(p), mit P(X=1) = p (Belletristik) und P(X=0) = 1−p.

Y = ∑ X_i ~ Bin(n=550, p), wobei P(Y=k) = C(550,k) × p^k × (1-p)^(550-k).

Unter H₀ (p=0,5) ist die Verteilung symmetrisch.

Kritische Bereiche

Rechtsseitig (H₁: p > 0,5):

Kritischer Bereich K = {k ≥ r}, wobei r die kleinste ganze Zahl ist, sodass P(Y ≥ r | H₀) ≤ 0,05.

r = 295: ∑_{i=295}^{550} C(550,i) × 0,5^{550} ≤ 0,05.

Linksseitig (H₁: p < 0,5):

K = {k ≤ l}, wobei l die größte ganze Zahl ist, sodass P(Y ≤ l | H₀) ≤ 0,05.

l = 255.

Zweiseitig (H₁: p ≠ 0,5):

K = {k ≤ 241} ∪ {k ≥ 309}, wobei jede Seite eine Wahrscheinlichkeit ≤ 0,025 hat.

Datenverarbeitung und beobachtete Statistik

import pandas as pd
df = pd.read_csv("bestsellers with categories.csv")
bins = df['Genre'].value_counts().tolist()
print(bins)  # [310, 240]

Belletristik: 310, Sachbücher: 240. Beobachtete Statistik t_obs = 310.

Ergebnisinterpretation

Rechtsseitig: 310 > 295 → H₀ verwerfen (p > 0,5).

Linksseitig: 310 > 255 → H₀ nicht verwerfen.

Zweiseitig: 310 ≥ 309 → H₀ verwerfen (p ≠ 0,5).

Fazit: Belletristik dominiert die Bestsellerliste (56,4 % vs. 43,6 %).

Wichtige Erkenntnisse

• Binomialtest eignet sich für binäre Ergebnisse mit fester n.
• Kritische Werte für Bin(550, 0,5) bei α=0,05: 295 (rechts), 255 (links), 241/309 (zweiseitig).
• t_obs=310 verwirft H₀: p=0,5 zugunsten von p>0,5.
• Fehler 1. Art (α=0,05) wird kontrolliert; Teststärke hängt von wahrem p ab.
• Bei großer n funktionieren Normalapproximationen, aber exakte Tests sind präziser.

— Editorial Team