Prueba binomial: cálculo e interpretación

# Prueba binomial: Configuración, regiones críticas y análisis real

La prueba binomial verifica hipótesis sobre la probabilidad de éxito en una serie de ensayos de Bernoulli independientes. La estadística de prueba es el número de éxitos Y ~ Bin(n, p), donde n es el tamaño de la muestra y p es la probabilidad de éxito.

Usaremos el conjunto de datos de los 50 libros más vendidos de Amazon (2009–2019): 550 libros clasificados como Ficción o No Ficción. Hipótesis nula H₀: p = 0.5 (proporciones iguales de ficción y no ficción). Alternativas: H₁: p > 0.5 (cola derecha), p < 0.5 (cola izquierda) o p ≠ 0.5 (dos colas).

Nivel de significancia α = 0.05. Estadística de prueba: T = ∑ I{x_i = 1}, donde x_i = 1 para Ficción.

Configuración de hipótesis y errores

La prueba de hipótesis involucra la nula H₀ y la alternativa H₁. Decisiones: rechazar H₀ o no rechazarla.

Tipos de error:

• Error tipo I (α): Rechazar una H₀ verdadera (falso positivo).
• Error tipo II (β): No rechazar una H₀ falsa (falso negativo).

| Escenario | H₀ Verdadera | H₀ Falsa |

|----------|--------------|----------|

| Rechazar H₀ | α | 1−β (potencia) |

| No rechazar H₀ | 1−α | β |

α = 0.05 es el equilibrio estándar.

Distribución de la estadística de prueba

Cada ensayo es Bernoulli: X_i ~ Bern(p), con P(X=1) = p (Ficción) y P(X=0) = 1−p.

Y = ∑ X_i ~ Bin(n=550, p), donde P(Y=k) = C(550,k) × p^k × (1-p)^(550-k).

Bajo H₀ (p=0.5), la distribución es simétrica.

Regiones críticas

Cola derecha (H₁: p > 0.5):

Región crítica K = {k ≥ r}, donde r es el menor entero tal que P(Y ≥ r | H₀) ≤ 0.05.

r = 295: ∑_{i=295}^{550} C(550,i) × 0.5^{550} ≤ 0.05.

Cola izquierda (H₁: p < 0.5):

K = {k ≤ l}, donde l es el mayor entero tal que P(Y ≤ l | H₀) ≤ 0.05.

l = 255.

Dos colas (H₁: p ≠ 0.5):

K = {k ≤ 241} ∪ {k ≥ 309}, con probabilidad en cada cola ≤ 0.025.

Procesamiento de datos y estadística observada

import pandas as pd
df = pd.read_csv("bestsellers with categories.csv")
bins = df['Genre'].value_counts().tolist()
print(bins)  # [310, 240]

Ficción: 310, No Ficción: 240. Estadística observada t_obs = 310.

Interpretación de resultados

Cola derecha: 310 > 295 → Rechazar H₀ (p > 0.5).

Cola izquierda: 310 > 255 → No rechazar H₀.

Dos colas: 310 ≥ 309 → Rechazar H₀ (p ≠ 0.5).

Conclusión: La ficción domina la lista de más vendidos (56.4% vs. 43.6%).

Lecciones clave

• La prueba binomial es ideal para resultados binarios con n fijo.
• Valores críticos para Bin(550, 0.5) con α=0.05: 295 (derecha), 255 (izquierda), 241/309 (dos colas).
• t_obs=310 rechaza H₀: p=0.5 a favor de p>0.5.
• Error tipo I (α=0.05) controlado; la potencia depende de la p real.
• Para n grande, aproximaciones normales funcionan, pero las pruebas exactas son lo mejor.

— Editorial Team