Přesnost MKP: porovnání SCAD++, Lira a ammonit3d

# Přesnost metody konečných prvků: srovnání SCAD++, Lira a ammonit3d na jednom prvku

Třídimenzionální cloudová aplikace ammonit3d prokázala analytickou přesnost na úrovni komerčních balíčků SCAD++ a Lira v testu s jedním konečným prvkem. Toto řešení zároveň zajišťuje krosplatformovou vizualizaci diagramů prohýbů a momentů přímo na 3D modelu, což usnadňuje analýzu výsledků pro inženýry.

Proč test s jedním konečným prvkem?

Kontrola přesnosti softwaru pro výpočet metodou konečných prvků (MKP) na jednom prvku je přísným testem. Pokud je matematický model prvku implementován správně, numerické řešení musí shodovat s analytickým. Pro nosník podle modelu Eulera-Bernoullimu existuje analytické řešení a jedná se o polynom čtvrtého stupně. V takovém testu chybí chyba diskretizace, protože úloha se řeší na jednom prvku, a jakékoli odchylení ukazuje na chybu v implementaci.

Komerční balíčky, jako SCAD++ a Lira, se tradičně používají ve stavebnictví a považují se za etalon. Cloudová řešení, například ammonit3d vyvinuté s využitím moderních webových technologií (Node.js, React, Three.js), však nabízejí nové možnosti. Test na jednom prvku umožňuje posoudit, jak přesně jsou v novém softwaru implementovány základní algoritmy.

Matematický model a analytické řešení

Model Eulera-Bernoullimu popisuje ohyb pružného nosníku pod působením rozloženého zatížení. Rovnice pružné osy má tvar:

EJ * d⁴v/dx⁴ = q(x)

kde E — modul pružnosti Younga, J — moment setrvačnosti průřezu, v — prohýb, q(x) — rozložené zatížení.

Pro rovnoměrně rozložené zatížení q₀ je obecné řešení:

v(x) = (q₀/(EJ)) * (x⁴/24 - x³L/12 + x²L²/24)

Ohybový moment se počítá jako:

M(x) = -EJ d²v/dx² = -q₀ (x²/2 - xL/2 + L²/12)

Tyto vzorce umožňují přesně určit prohýb a moment v libovolné bodě nosníku. Například maximální prohýb uprostřed nosníku délky L=1 m při q₀=3 kN/m činí -1,165 mm, momenty na opěrách jsou -250 N·m, uprostřed 125 N·m.

Nastavení testu: nosník se ztuhlými konci

Testovací model představuje ocelový nosník délky 1 m s čtvercovým průřezem 25×25 mm. Materiál — ocel s modulem pružnosti Younga 2.06e11 Pa a Poissonovým číslem 0,3. Konce nosníku jsou tuze ztuhlé a po celé délce je přiloženo rovnoměrně rozložené zatížení 3 kN/m.

Tento test byl vybrán proto, že:

• Analytické řešení je známo a snadno se počítá.
• Zatížení a okrajové podmínky vytvářejí typický obraz napěťově-deformačního stavu pro praxi.
• Výsledky jsou citlivé na přesnost implementace prvku.

Výsledky srovnání: přesnost až na šesté desetinné místo

Všechny tři balíčky — SCAD++, Lira a ammonit3d — ukázaly shodu s analytickým řešením s přesností až na šesté desetinné místo. V tabulce jsou uvedeny klíčové hodnoty:

• Prohýb uprostřed rozpětí (v(0.5)): -1.165000 mm (analytika), -1.164999 mm (SCAD++), -1.165000 mm (Lira), -1.165000 mm (ammonit3d).
• Moment uprostřed rozpětí (M(0.5)): 125 N·m (ve všech případech).
• Moment na opěře (M(0)): -250 N·m (ve všech případech).

Tím pádem numerická jádra všech programů správně implementují model Eulera-Bernoullimu pro tyčový prvek. Existují však nuanse v prezentaci výsledků.

Vizualizace: čím se ammonit3d liší?

Hlavní rozdíl ammonit3d oproti tradičním balíčkům spočívá ve způsobu vizualizace. SCAD++ a Lira zobrazují diagramy prohýbů a momentů v samostatných oknech, bez jejich integrace do 3D modelu. V ammonit3d se diagramy vrství přímo na prostorovou schéma, což umožňuje inženýrovi vidět deformace a napětí v kontextu celé konstrukce.

Kromě toho má ammonit3d následující výhody:

• Krosplatformovost: funguje v prohlížeči na PC, tabletech a smartfonech.
• Cloudové úložiště: modely jsou dostupné odkudkoli s internetem.
• Sociální funkce: možnost sdílet modely přes odkazy, publikovat na sociálních sítích nebo posílat e-mailem.
• Otevřený přístup: uživatelé mohou vytvářet a upravovat modely bez instalace softwaru.

Tyto vlastnosti činí řešení pohodlným pro týmovou práci a rychlou výměnu výsledků.

Co je důležité

• Všechny tři balíčky zajišťují analytickou přesnost na jednom konečném prvku, což potvrzuje správnost jejich matematických modelů.
• ammonit3d zaostává za komerčními analogy přesností, ale převyšuje je vizualizací a dostupností.
• Integrace diagramů do 3D modelu urychluje interpretaci výsledků, zejména u složitých konstrukcí.
• Cloudová architektura umožňuje spouštět výpočty na jakémkoli zařízení a snižuje vstupní práh pro inženýry.

— Editorial Team