FEM-Genauigkeit: Vergleich von SCAD++, Lira und ammonit3d

Genauigkeit der Finite-Elemente-Methode: Vergleich von SCAD++, Lira und ammonit3d an einem einzelnen Element

Die 3D-Cloud-Anwendung ammonit3d zeigte analytische Genauigkeit auf dem Niveau der kommerziellen Pakete SCAD++ und Lira in einem Test mit einem einzelnen finiten Element. Gleichzeitig bietet die Lösung plattformübergreifende Visualisierung von Durchbiegungs- und Momentendiagrammen direkt auf dem 3D-Modell, was die Ergebnisanalyse für Ingenieure vereinfacht.

Warum ein Test mit einem einzelnen finiten Element?

Die Überprüfung der Genauigkeit von Finite-Elemente-Methode (FEM)-Software an einem einzelnen Element ist ein strenger Test. Wenn das mathematische Modell des Elements korrekt implementiert ist, sollte die numerische Lösung mit der analytischen übereinstimmen. Für einen Träger basierend auf dem Euler-Bernoulli-Modell existiert eine analytische Lösung in Form eines Polynoms vierten Grades. Bei einem solchen Test gibt es keine Diskretisierungsfehler, da das Problem auf einem einzelnen Element gelöst wird, und jede Abweichung deutet auf einen Implementierungsfehler hin.

Kommerzielle Pakete wie SCAD++ und Lira werden traditionell in der Bauwirtschaft eingesetzt und gelten als Goldstandard. Cloud-Lösungen wie ammonit3d, die mit modernen Web-Technologien (Node.js, React, Three.js) entwickelt wurden, bieten jedoch neue Möglichkeiten. Ein Test mit einem einzelnen Element erlaubt es, die Genauigkeit der grundlegenden Algorithmen in der neuen Software zu bewerten.

Mathematisches Modell und analytische Lösung

Das Euler-Bernoulli-Modell beschreibt die Biegung eines elastischen Trägers unter einer verteilten Last. Die Gleichung für die Elastiklinie lautet:

EJ * d⁴v/dx⁴ = q(x)

wobei E der Elastizitätsmodul, J das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts, v die Durchbiegung und q(x) die verteilte Last ist.

Bei einer gleichmäßig verteilten Last q₀ lautet die allgemeine Lösung:

v(x) = (q₀/(EJ)) * (x⁴/24 - x³L/12 + x²L²/24)

Das Biegemoment berechnet sich als:

M(x) = -EJ d²v/dx² = -q₀ (x²/2 - xL/2 + L²/12)

Diese Formeln ermöglichen eine präzise Bestimmung der Durchbiegung und des Moments an jedem Punkt des Trägers. So beträgt beispielsweise die maximale Durchbiegung in der Mitte eines 1 m langen Trägers mit q₀=3 kN/m -1,165 mm, die Momente an den Auflagern -250 N·m und in der Mitte 125 N·m.

Testaufbau: Träger mit fest eingespannten Enden

Das Testmodell ist ein 1 m langer Stahlträger mit einem quadratischen Querschnitt von 25×25 mm. Material: Stahl mit Elastizitätsmodul 2.06e11 Pa und Poissonzahl 0,3. Die Trägerenden sind starr eingespannt, mit einer gleichmäßig verteilten Last von 3 kN/m über die gesamte Länge.

Dieser Test wurde gewählt, weil:

• Die analytische Lösung bekannt und leicht berechenbar ist.
• Last und Randbedingungen einen typischen Spannungs-Zustand erzeugen, wie er in der Praxis vorkommt.
• Die Ergebnisse sind empfindlich gegenüber der Genauigkeit der Elementimplementierung.

Vergleichsergebnisse: Genauigkeit auf sechs Dezimalstellen

Alle drei Pakete – SCAD++, Lira und ammonit3d – stimmten mit der analytischen Lösung auf sechs Dezimalstellen überein. Die Tabelle zeigt die wichtigsten Werte:

• Durchbiegung in der Träger Mitte (v(0.5)): -1.165000 mm (analytisch), -1.164999 mm (SCAD++), -1.165000 mm (Lira), -1.165000 mm (ammonit3d).
• Moment in der Träger Mitte (M(0.5)): 125 N·m (in allen Fällen).
• Moment an der Auflager (M(0)): -250 N·m (in allen Fällen).

Somit implementieren die numerischen Kerne aller Programme das Euler-Bernoulli-Modell für das Trägerelement korrekt. Es gibt jedoch Nuancen bei der Darstellung der Ergebnisse.

Visualisierung: Worin sticht ammonit3d heraus?

Der Hauptunterschied von ammonit3d zu traditionellen Paketen liegt in der Visualisierung. SCAD++ und Lira zeigen Durchbiegungs- und Momentendiagramme in separaten Fenstern, ohne sie ins 3D-Modell zu integrieren. Bei ammonit3d werden die Diagramme direkt auf das räumliche Schema gelegt, sodass Ingenieure Verformungen und Spannungen im Kontext der gesamten Struktur sehen können.

Zusätzlich bietet ammonit3d folgende Vorteile:

• Plattformübergreifend: Läuft im Browser auf PCs, Tablets und Smartphones.
• Cloud-Speicher: Modelle von überall mit Internet zugänglich.
• Soziale Funktionen: Modelle per Link teilen, in soziale Medien posten oder per E-Mail versenden.
• Offener Zugang: Nutzer können Modelle erstellen und bearbeiten, ohne Software zu installieren.

Diese Funktionen erleichtern die Teamarbeit und das schnelle Teilen von Ergebnissen.

Wichtige Erkenntnisse

• Alle drei Pakete liefern analytische Genauigkeit an einem einzelnen finiten Element und bestätigen die Korrektheit ihrer mathematischen Modelle.
• ammonit3d erreicht die Genauigkeit kommerzieller Pendants, übertrifft sie jedoch in Visualisierung und Zugänglichkeit.
• Die Integration von Diagrammen ins 3D-Modell beschleunigt die Ergebnisinterpretation, insbesondere bei komplexen Strukturen.
• Die Cloud-Architektur ermöglicht Berechnungen auf jedem Gerät und senkt die Einstiegshürde für Ingenieure.

— Editorial Team