Dokładność MES: porównanie SCAD++, Lira i ammonit3d

# Dokładność metody elementów skończonych: porównanie SCAD++, Lira i ammonit3d na jednym elemencie

Trójwymiarowa aplikacja chmurowa ammonit3d wykazała dokładność analityczną na poziomie komercyjnych pakietów SCAD++ i Lira w teście z jednym elementem skończonym. Rozwiązanie to zapewnia wieloplatformową wizualizację epür ugięć i momentów bezpośrednio na modelu 3D, co ułatwia analizę wyników dla inżynierów.

Dlaczego test z jednym elementem skończonym?

Sprawdzanie dokładności oprogramowania do obliczeń metodą elementów skończonych (MES) na jednym elemencie jest surowym testem. Jeśli model matematyczny elementu jest poprawnie zaimplementowany, rozwiązanie numeryczne powinno zgadzać się z analitycznym. Dla belki według modelu Eulera-Bernoulliego istnieje rozwiązanie analityczne w postaci wielomianu czwartego stopnia. W takim teście nie ma błędu dyskretyzacji, ponieważ zadanie jest rozwiązywane na jednym elemencie, a każde odchylenie wskazuje na błąd w implementacji.

Komercyjne pakiety, takie jak SCAD++ i Lira, są tradycyjnie używane w branży budowlanej i uważane za wzorzec. Jednak rozwiązania chmurowe, takie jak ammonit3d, opracowane z wykorzystaniem nowoczesnych technologii internetowych (Node.js, React, Three.js), oferują nowe możliwości. Test na jednym elemencie pozwala ocenić, jak dokładnie zaimplementowano podstawowe algorytmy w nowym oprogramowaniu.

Model matematyczny i rozwiązanie analityczne

Model Eulera-Bernoulliego opisuje zginanie sprężystej belki pod wpływem obciążenia rozłożonego. Równanie osi sprężystej ma postać:

EJ * d⁴v/dx⁴ = q(x)

gdzie E — moduł Younga, J — moment bezwładności przekroju, v — ugięcie, q(x) — obciążenie rozłożone.

Dla równomiernie rozłożonego obciążenia q₀ rozwiązanie ogólne:

v(x) = (q₀/(EJ)) * (x⁴/24 - x³L/12 + x²L²/24)

Zginający moment oblicza się jako:

M(x) = -EJ d²v/dx² = -q₀ (x²/2 - xL/2 + L²/12)

Te wzory pozwalają dokładnie określić ugięcie i moment w dowolnym punkcie belki. Na przykład maksymalne ugięcie w środku belki o długości L=1 m przy q₀=3 kN/m wynosi -1,165 mm, momenty na podporach wynoszą -250 N·m, a w środku — 125 N·m.

Ustawienie testu: belka z zamocowanymi końcami

Model testowy to stalowa belka o długości 1 m z kwadratowym przekrojem 25×25 mm. Materiał — stal o module Younga 2.06e11 Pa i współczynniku Poissona 0,3. Końce belki są sztywno zamocowane, a na całej długości działa równomiernie rozłożone obciążenie 3 kN/m.

Ten test wybrano, ponieważ:

• znane jest rozwiązanie analityczne i łatwo je obliczyć.
• obciążenie i warunki brzegowe tworzą typowy dla praktyki obraz stanu naprężeń i odkształceń.
• wyniki są wrażliwe na dokładność implementacji elementu.

Wyniki porównania: dokładność do szóstego miejsca po przecinku

Wszystkie trzy pakiety — SCAD++, Lira i ammonit3d — pokazały zgodność z rozwiązaniem analitycznym z dokładnością do szóstego miejsca po przecinku. W tabeli podano kluczowe wartości:

• Ugięcie w środku rozpiętości (v(0.5)): -1.165000 mm (analityka), -1.164999 mm (SCAD++), -1.165000 mm (Lira), -1.165000 mm (ammonit3d).
• Moment w środku rozpiętości (M(0.5)): 125 N·m (we wszystkich przypadkach).
• Moment na podporze (M(0)): -250 N·m (we wszystkich przypadkach).

W ten sposób jądra numeryczne wszystkich programów poprawnie implementują model Eulera-Bernoulliego dla elementu prętowego. Istnieją jednak niuanse w prezentacji wyników.

Wizualizacja: czym wyróżnia się ammonit3d?

Główne różnica ammonit3d od tradycyjnych pakietów tkwi w sposobie wizualizacji. SCAD++ i Lira wyświetlają epüry ugięć i momentów w oddzielnych oknach, nie integrując ich z modelem 3D. W ammonit3d epüry są nakładane bezpośrednio na schemat przestrzenny, co pozwala inżynierowi widzieć odkształcenia i naprężenia w kontekście całej konstrukcji.

Ponadto ammonit3d ma następujące zalety:

• Wieloplatformowość: działa w przeglądarce na komputerach PC, tabletach i smartfonach.
• Przechowywanie chmurowe: modele dostępne z dowolnego miejsca z internetem.
• Funkcje społecznościowe: możliwość udostępniania modeli przez linki, publikowania w mediach społecznościowych lub wysyłania e-mailem.
• Otwarte korzystanie: użytkownicy mogą tworzyć i edytować modele bez instalowania oprogramowania.

Te cechy czynią rozwiązanie wygodnym do pracy zespołowej i szybkiej wymiany wyników.

Co ważne

• Wszystkie trzy pakiety zapewniają dokładność analityczną na jednym elemencie skończonym, co potwierdza poprawność ich modeli matematycznych.
• ammonit3d nie ustępuje dokładnością komercyjnym odpowiednikom, ale przewyższa je pod względem wizualizacji i dostępności.
• Integracja epür z modelem 3D przyspiesza interpretację wyników, zwłaszcza dla skomplikowanych konstrukcji.
• Architektura chmurowa pozwala uruchamiać obliczenia na dowolnym urządzeniu, obniżając próg wejścia dla inżynierów.

— Editorial Team