GPT-5.4 Pro vyřešila úlohu Erdőse č. 1202 ze seznamu Greena

GPT-5.4 Pro vyřešila úlohu č. 1202 z databáze Erdőse ze seznamu Bena Greena

Model GPT-5.4 Pro ve spolupráci s matematikem Liamem Pricem vyřešil úlohu č. 1202 z databáze problémů Paula Erdőse. Jedná se o Problem 44 z „100 Open Problems“ Bena Greena, předního specialisty na aditivní kombinatoriku a spoluautora věty Green–Tao. Poprvé AI překonal bariéru „zeleného seznamu“ Greena — kurátované sbírky klíčových otevřených úloh. Výsledek je negativní: Erdős se mýlil v intuitivním předpokladu.

Úloha byla formulována v roce 1980: pro k prvočísel p_i zakazujeme polovinu tříd zbytku modulo p_i. Otázka — zhroutí se množina {1, 2, ..., n} téměř na nulu při k dostatečně velkém, ale s p_i do n^{1-ε}? Erdős očekával kladnou odpověď a zdůrazňoval složitost důkazu.

Formulace problému Erdőse

Zvažme k prvočísel p_1, ..., p_k. Pro každé p_i vybereme podmnožinu A_i z {0, 1, ..., p_i-1} s |A_i| = floor(p_i / 2). Definujeme S jako průsečík všech

S = { m ∈ {1,...,n} | ∀i, m mod p_i ∈ A_i }.

Erdős předpokládal: při vhodném výběru A_i a k ~ log log n / log log log n má množina S |S| = o(n). Pro p_i < √n to plyne z věty velkého síta. Ale pro větší rozsah p_i ≤ n^{1-ε} důkaz unikl.

Kontrapríklad od GPT-5.4 Pro a Price

Model a matematik sestavili kontrapríklad: při p_i řádu √(n log n) a speciálních zakázaných třídách |S| dosahuje (1/2 - c)n — lineárně mnoho prvků. Konstrukce se opírá o intervaly, kde přeživší množina obsahuje dlouhou aritmetickou progresi.

Klíčové prvky kontrapríkladu:

• Výběr prvočísel p_i ≈ √(n log n).
• Zakázané třídy A_i symetrické vůči intervalům.
• Podíl přeživších čísel neklesá pod konstantu, ne o(1).

To vyvrací hypotézu Erdőse. Stav úlohy na erdosproblems.com byl aktualizován na „resolved in the negative“.

Předchozí úspěchy AI u úloh Erdőse

Databáze Erdőse obsahuje stovky otevřených problémů. AI již vyřešilo desítky z nich různé významnosti:

• Úlohy z teorie grafů (např. o Ramseyových číslech).
• Problémy kombinatoriky množin.
• Aditivní báze a progresie.

Wiki projektu zaznamenává příspěvky od AlphaProof, Lean a dalších systémů. Řešení ze seznamu Greena je milník: jeho úlohy byly vybrány jako nejpříznivější pro pokrok v oboru.

Ben Green, jehož věta s Terence Tao popisuje aritmetické progresie v prvočíslích, kurátoval seznam pro zaměření na aditivní kombinatoriku. Průlom GPT-5.4 Pro demonstruje potenciál velkých jazykových modelů ve formální matematice.

Co je důležité

• Negativní odpověď: |S| ≥ (1/2 - c)n při p_i ~ √(n log n), kontrapríklad s intervaly a AP.
• První z „zeleného seznamu“: Green vybral 100 klíčových úloh; AI dříve obcházelo jen obecnou databázi Erdőse.
• Metodologie: Společná práce člověka a AI — Price ověřil konstrukci modelu.
• Širší kontext: Úspěchy AI v 30+ úlohách Erdőse urychlují pokrok v kombinatorice.
• Stav: Úloha č. 1202 uzavřena jako nevyřešitelná v kladném smyslu.

Řešení podtrhuje posun: AI nejen ověřuje hypotézy, ale staví kontrapríklady v nevyřešených oblastech. Pro vývojáře je to signál k integraci LLM do proof assistantů typu Lean nebo Isabelle.

— Editorial Team