# GPT-5.4 Pro resuelve el problema de Erdős #1202 de la lista de Ben Green
El modelo GPT-5.4 Pro, en colaboración con el matemático Liam Price, ha resuelto el Problema #1202 de la base de datos de problemas de Paul Erdős. Se trata del Problema 44 de «100 Open Problems» de Ben Green, el principal experto en combinatoria aditiva y coautor del teorema Green–Tao. Por primera vez, la IA ha irrumpido en la «lista verde» de Green —una selección curada de problemas abiertos clave—. El resultado es negativo: Erdős se equivocó en su conjetura intuitiva.
El problema se planteó en 1980: para k primos p_i, prohibimos la mitad de las clases de residuos módulo p_i. La pregunta es si el conjunto {1, 2, ..., n} colapsa casi a cero cuando k es lo suficientemente grande, pero con p_i hasta n^{1-ε}? Erdős esperaba una respuesta afirmativa, destacando la dificultad de probarlo.
Enunciado del problema de Erdős
Consideremos k primos p_1, ..., p_k. Para cada p_i, elijamos un subconjunto A_i de {0, 1, ..., p_i-1} con |A_i| = floor(p_i / 2). Definimos S como la intersección de todos
S = { m ∈ {1,...,n} | ∀i, m mod p_i ∈ A_i }.
Erdős conjeturó: con una elección adecuada de A_i y k ~ log log n / log log log n, el conjunto S tiene |S| = o(n). Para p_i < √n, esto se sigue del teorema del tamiz grande. Pero para el rango mayor p_i ≤ n^{1-ε}, una prueba se le escapó.
Contraejemplo de GPT-5.4 Pro y Price
El modelo y el matemático construyeron un contraejemplo: con p_i del orden de √(n log n) y clases de residuos prohibidas especiales, |S| alcanza (1/2 - c)n —muchos elementos lineales—. La construcción se basa en intervalos donde el conjunto superviviente contiene una progresión aritmética larga.
Elementos clave del contraejemplo:
- Primos p_i ≈ √(n log n).
- Clases prohibidas A_i simétricas con respecto a intervalos.
- La proporción de números supervivientes no cae por debajo de una constante, no o(1).
Esto refuta la conjetura de Erdős. El estado del problema en erdosproblems.com se ha actualizado a «resuelto en negativo».
Éxitos previos de la IA en problemas de Erdős
La base de datos de Erdős contiene cientos de problemas abiertos. La IA ya ha resuelto docenas de ellos, de diversa importancia:
- Problemas de teoría de grafos (p. ej., sobre números de Ramsey).
- Problemas de combinatoria de conjuntos.
- Bases aditivas y progresiones.
El wiki del proyecto rastrea contribuciones de AlphaProof, Lean y otros sistemas. Resolver un problema de la lista de Green es un hito: sus problemas fueron seleccionados como los más prometedores para avances en el campo.
Ben Green, cuyo teorema con Terence Tao describe progresiones aritméticas en primos, curó la lista para enfocarse en combinatoria aditiva. El avance de GPT-5.4 Pro demuestra el potencial de los grandes modelos de lenguaje en matemáticas formales.
Lo que importa
- Resultado negativo: |S| ≥ (1/2 - c)n con p_i ~ √(n log n), contraejemplo usando intervalos y PAs.
- Primero de la «lista verde»: Green seleccionó 100 problemas clave; la IA previamente solo había abordado la base de datos general de Erdős.
- Metodología: Colaboración humano-IA —Price verificó la construcción del modelo—.
- Contexto más amplio: Éxitos de la IA en más de 30 problemas de Erdős están acelerando el progreso en combinatoria.
- Estado: Problema #1202 cerrado como irresoluble en el sentido afirmativo.
La solución destaca un cambio: la IA no solo verifica hipótesis, sino que construye contraejemplos en áreas sin resolver. Para desarrolladores, es una señal para integrar LLMs en asistentes de pruebas como Lean o Isabelle.
— Editorial Team
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