GPT-5.4 Pro가 그린의 리스트에서 에르도스 문제 No. 1202를 해결했습니다

GPT-5.4 Pro가 벤 그린의 리스트에서 에르되시 문제 #1202를 해결

GPT-5.4 Pro 모델은 수학자 리암 프라이스와 협력하여 폴 에르되시의 문제 데이터베이스에서 문제 #1202를 해결했습니다. 이는 가산 조합론의 선도적 전문가이자 그린–타오 정리의 공저자인 벤 그린의 "100 Open Problems" 중 문제 44입니다. 처음으로 AI가 그린의 "green list"—주요 미해결 문제들의 선별된 목록—을 돌파했습니다. 결과는 부정적입니다: 에르되시의 직관적 추측이 틀렸습니다.

문제는 1980년에 제기되었습니다: k개의 소수 p_i에 대해 각각의 p_i 모듈로 절반의 잉여 클래스를 금지합니다. 질문은 k가 충분히 클 때 {1, 2, ..., n} 집합이 거의 0으로 붕괴하는지, 하지만 p_i가 n^{1-ε}까지인 경우입니다? 에르되시는 긍정적 답을 예상하며 증명 난이도를 지적했습니다.

에르되시 문제 제안

k개의 소수 p_1, ..., p_k를 고려합니다. 각 p_i에 대해 {0, 1, ..., p_i-1}의 부분집합 A_i를 |A_i| = floor(p_i / 2)로 선택합니다. S를 모든 것의 교집합으로 정의합니다

S = { m ∈ {1,...,n} | ∀i, m mod p_i ∈ A_i }.

에르되시는 적절한 A_i 선택과 k ~ log log n / log log log n으로 |S| = o(n)라고 추측했습니다. p_i < √n인 경우 대체체 정리에 의해 따릅니다. 하지만 p_i ≤ n^{1-ε} 범위에 대한 증명은 그를 당황하게 했습니다.

GPT-5.4 Pro와 프라이스의 반례

모델과 수학자는 반례를 구성했습니다: p_i가 √(n log n) 규모이고 특별한 금지 잉여 클래스로 |S|가 (1/2 - c)n—선형 규모의 원소—에 도달합니다. 구성은 생존 집합에 긴 등차수열이 포함된 구간에 의존합니다.

반례의 핵심 요소:

• 소수 p_i ≈ √(n log n).
• 금지 클래스 A_i가 구간에 대해 대칭적.
• 생존 숫자의 비율이 상수 아래로 떨어지지 않음, o(1)이 아님.

이는 에르되시의 추측을 반박합니다. erdosproblems.com의 문제 상태가 "부정적으로 해결됨"으로 업데이트되었습니다.

에르되시 문제에 대한 이전 AI 성공 사례

에르되시 데이터베이스에는 수백 개의 미해결 문제가 있습니다. AI는 이미 수십 개를 해결했으며, 중요도가 다양합니다:

• 그래프 이론 문제 (예: 램지 수 관련).
• 집합 조합론 문제.
• 가산 기저와 수열 문제.

프로젝트 위키는 AlphaProof, Lean 등 시스템의 기여를 추적합니다. 그린 리스트 문제 해결은 이 분야 진전을 위한 획기적 이정표입니다.

테렌스 타오와의 정리가 소수에서의 등차수열을 설명하는 벤 그린이 가산 조합론에 초점을 맞춰 목록을 선별했습니다. GPT-5.4 Pro의 돌파구는 형식 수학에서 대형 언어 모델의 잠재력을 보여줍니다.

중요한 점

• 부정적 결과: p_i ~ √(n log n)으로 |S| ≥ (1/2 - c)n, 구간과 등차수열을 이용한 반례.
• "green list" 최초: 그린이 선정한 100개 핵심 문제; AI는 이전에 일반 에르되시 데이터베이스만 다뤘음.
• 방법론: 인간-AI 협력—프라이스가 모델의 구성을 검증.
• 더 넓은 맥락: 조합론에서 30개 이상 에르되시 문제 해결로 진전 가속화.
• 상태: 문제 #1202가 긍정적 해결 불가능으로 종결.

이 해결은 전환점을 강조합니다: AI가 가설 검증뿐 아니라 미해결 영역에서 반례를 구성합니다. 개발자들에게는 Lean이나 Isabelle 같은 증명 보조 도구에 LLM을 통합하라는 신호입니다.

— Editorial Team