GPT-5.4 Pro löste das Erdős-Problem Nr. 1202 aus Greens Liste

GPT-5.4 Pro löst Erdős-Problem #1202 aus Ben Greens Liste

Das GPT-5.4 Pro-Modell hat in Zusammenarbeit mit dem Mathematiker Liam Price Problem #1202 aus der Problemdatenbank von Paul Erdős gelöst. Dies ist Problem 44 aus Ben Greens „100 offenen Problemen“, verfasst vom führenden Experten für additive Kombinatorik und Mitautor des Green–Tao-Theorems. Erstmals hat KI die „Grüne Liste“ von Green durchbrochen – eine kuratierte Auswahl zentraler offener Probleme. Das Ergebnis ist negativ: Erdős lag mit seiner intuitiven Vermutung falsch.

Das Problem wurde 1980 gestellt: Für k Primzahlen p_i verbieten wir die Hälfte der Restklassen modulo p_i. Die Frage ist, ob die Menge {1, 2, ..., n} bei hinreichend großem k fast auf null kollabiert, wobei p_i bis zu n^{1-ε} reichen? Erdős erwartete eine positive Antwort und betonte die Schwierigkeit eines Beweises.

Formulierung des Erdős-Problems

Betrachten Sie k Primzahlen p_1, ..., p_k. Für jede p_i wählen Sie eine Teilmenge A_i von {0, 1, ..., p_i-1} mit |A_i| = floor(p_i / 2). Definieren Sie S als die Schnittmenge aller

S = { m ∈ {1,...,n} | ∀i, m mod p_i ∈ A_i }.

Erdős vermutete: Bei geeigneter Wahl der A_i und k ~ log log n / log log log n gilt |S| = o(n). Für p_i < √n folgt dies aus dem Grobsiebtheorem. Im größeren Bereich p_i ≤ n^{1-ε} blieb jedoch ein Beweis aus.

Gegenbeispiel von GPT-5.4 Pro und Price

Das Modell und der Mathematiker konstruierten ein Gegenbeispiel: Mit p_i in der Größenordnung √(n log n) und speziellen verbotenen Restklassen erreicht |S| (1/2 - c)n – also linear viele Elemente. Die Konstruktion nutzt Intervalle, in denen die verbleibende Menge eine lange arithmetische Progression enthält.

Schlüssellemente des Gegenbeispiels:

• Primzahlen p_i ≈ √(n log n).
• Verbotene Klassen A_i symmetrisch bezüglich von Intervallen.
• Der Anteil der überlebenden Zahlen sinkt nicht unter eine Konstante, also nicht o(1).

Dies widerlegt die Erdős-Vermutung. Der Status des Problems auf erdosproblems.com wurde auf „negativ gelöst“ aktualisiert.

Frühere KI-Erfolge bei Erdős-Problemen

Die Erdős-Datenbank umfasst Hunderte offener Probleme. KI hat bereits Dutzende davon gelöst, von unterschiedlicher Bedeutung:

• Probleme der Graphentheorie (z. B. zu Ramsey-Zahlen).
• Probleme der Mengenkombinatorik.
• Additive Basen und Progressionen.

Das Projekt-Wiki protokolliert Beiträge von AlphaProof, Lean und anderen Systemen. Eine Lösung aus Greens Liste markiert einen Meilenstein: Seine Probleme galten als besonders vielversprechend für Fortschritte im Fachgebiet.

Ben Green, dessen Theorem mit Terence Tao arithmetische Progressionen in Primzahlen beschreibt, stellte die Liste mit Fokus auf additive Kombinatorik zusammen. Der Durchbruch von GPT-5.4 Pro zeigt das Potenzial großer Sprachmodelle in der formalen Mathematik.

Was zählt

• Negatives Ergebnis: |S| ≥ (1/2 - c)n bei p_i ~ √(n log n), Gegenbeispiel mittels Intervalle und APs.
• Erstes aus der „Grünen Liste“: Green wählte 100 Schlüsselprobleme; KI hatte zuvor nur die allgemeine Erdős-Datenbank bearbeitet.
• Methodik: Mensch-KI-Zusammenarbeit – Price prüfte die Konstruktion des Modells.
• Breiterer Kontext: KI-Erfolge bei über 30 Erdős-Problemen beschleunigen den Fortschritt in der Kombinatorik.
• Status: Problem #1202 als positiv unlösbar geschlossen.

Die Lösung signalisiert einen Wandel: KI verifiziert nicht nur Hypothesen, sondern konstruiert Gegenbeispiele in offenen Bereichen. Für Entwickler ist es ein Aufruf, große Sprachmodelle in Beweishilfen wie Lean oder Isabelle zu integrieren.

— Editorial Team