# GPT-5.4 Pro résout le problème d'Erdős n° 1202 de la liste de Ben Green
Le modèle GPT-5.4 Pro, en collaboration avec le mathématicien Liam Price, a résolu le problème n° 1202 de la base de problèmes de Paul Erdős. Il s'agit du problème 44 de la liste « 100 problèmes ouverts » de Ben Green, expert de premier plan en combinatoire additive et coauteur du théorème de Green–Tao. Pour la première fois, l'IA a percé la « green list » de Green — une sélection soignée de problèmes ouverts clés. Le résultat est négatif : Erdős s'est trompé dans sa conjecture intuitive.
Le problème a été posé en 1980 : pour k nombres premiers p_i, on interdit la moitié des classes de résidus modulo p_i. La question est de savoir si l'ensemble {1, 2, ..., n} s'effondre presque à zéro quand k est suffisamment grand, mais avec p_i jusqu'à n^{1-ε} ? Erdős s'attendait à une réponse positive, notant la difficulté de le prouver.
Énoncé du problème d'Erdős
Considérons k nombres premiers p_1, ..., p_k. Pour chaque p_i, choisissons un sous-ensemble A_i de {0, 1, ..., p_i-1} avec |A_i| = floor(p_i / 2). Définissons S comme l'intersection de tous
S = { m ∈ {1,...,n} | ∀i, m mod p_i ∈ A_i }.
Erdős a conjecturé : avec un choix approprié de A_i et k ~ log log n / log log log n, l'ensemble S a |S| = o(n). Pour p_i < √n, cela découle du théorème du grand crible. Mais pour la plage plus large p_i ≤ n^{1-ε}, une preuve lui a échappé.
Contre-exemple de GPT-5.4 Pro et Price
Le modèle et le mathématicien ont construit un contre-exemple : avec p_i de l'ordre de √(n log n) et des classes de résidus interdites spéciales, |S| atteint (1/2 - c)n — linéairement beaucoup d'éléments. La construction repose sur des intervalles où l'ensemble survivant contient une longue progression arithmétique.
Éléments clés du contre-exemple :
- Nombres premiers p_i ≈ √(n log n).
- Classes interdites A_i symétriques par rapport à des intervalles.
- La proportion de nombres survivants ne descend pas en dessous d'une constante, pas o(1).
Cela réfute la conjecture d'Erdős. Le statut du problème sur erdosproblems.com a été mis à jour en « resolved in the negative ».
Succès précédents de l'IA sur les problèmes d'Erdős
La base de données d'Erdős contient des centaines de problèmes ouverts. L'IA en a déjà résolu des dizaines, d'importance variable :
- Problèmes de théorie des graphes (p. ex., sur les nombres de Ramsey).
- Problèmes de combinatoire des ensembles.
- Bases additives et progressions.
Le wiki du projet suit les contributions d'AlphaProof, Lean et d'autres systèmes. Résoudre un problème de la liste de Green est une étape importante : ses problèmes ont été sélectionnés comme les plus prometteurs pour des avancées dans le domaine.
Ben Green, dont le théorème avec Terence Tao décrit les progressions arithmétiques dans les nombres premiers, a dressé cette liste pour se concentrer sur la combinatoire additive. La percée de GPT-5.4 Pro démontre le potentiel des grands modèles de langage en mathématiques formelles.
Ce qui compte
- Résultat négatif : |S| ≥ (1/2 - c)n avec p_i ~ √(n log n), contre-exemple utilisant des intervalles et des PA.
- Premier de la « green list » : Green a sélectionné 100 problèmes clés ; l'IA ne s'était auparavant attaquée qu'à la base Erdős générale.
- Méthodologie : Collaboration humain-IA — Price a vérifié la construction du modèle.
- Contexte plus large : Les succès de l'IA sur plus de 30 problèmes d'Erdős accélèrent les progrès en combinatoire.
- Statut : Problème n° 1202 clos comme non résolvable positivement.
La solution met en lumière un changement : l'IA ne se contente pas de vérifier des hypothèses mais construit des contre-exemples dans des domaines non résolus. Pour les développeurs, c'est un signal pour intégrer les LLM dans des assistants de preuve comme Lean ou Isabelle.
— Editorial Team
Aucun commentaire pour le moment.