# GPT-5.4 Pro rozwiązała zadanie nr 1202 z bazy Erdősa z listy Bena Greena
Model GPT-5.4 Pro we współpracy z matematykiem Liamem Pricem rozwiązała zadanie nr 1202 z bazy problemów Paula Erdősa. To Problem 44 z „100 Open Problems" Bena Greena, wiodącego specjalisty w addytywnej kombinatoryce i współautora twierdzenia Greena–Tao. Po raz pierwszy AI pokonało barierę „zielonej listy" Greena — starannie wyselekcjonowanej kolekcji kluczowych otwartych zadań. Wynik jest negatywny: Erdős pomylił się w swej intuicyjnej hipotezie.
Zadanie sformułowano w 1980 roku: dla k liczb pierwszych p_i zabraniamy połowy klas reszt modulo p_i. Pytanie brzmi: czy zbiór {1, 2, ..., n} skurczy się prawie do zera przy odpowiednio dużym k, ale z p_i do n^{1-ε}? Erdős spodziewał się odpowiedzi twierdzącej, zaznaczając trudność dowodu.
Formułowanie problemu Erdősa
Rozważmy k liczb pierwszych p_1, ..., p_k. Dla każdego p_i wybieramy podzbiór A_i z {0, 1, ..., p_i-1} o kardynalności |A_i| = floor(p_i / 2). Definiujemy S jako przecięcie wszystkich
S = { m ∈ {1,...,n} | ∀i, m mod p_i ∈ A_i }.
Erdős przypuszczał: przy odpowiednim wyborze A_i i k ~ log log n / log log log n zbiór S ma |S| = o(n). Dla p_i < √n wynika to z twierdzenia o wielkim sicie. Ale dla szerszego zakresu p_i ≤ n^{1-ε} dowód umykał.
Kontrprzykład od GPT-5.4 Pro i Price'a
Model i matematyk skonstruowali kontrprzykład: przy p_i rzędu √(n log n) i specjalnych zabronionych klasach |S| osiąga (1/2 - c)n — liniowo wiele elementów. Konstrukcja opiera się na interwałach, w których ocalały zbiór zawiera długą arytmetyczną progresję.
Kluczowe elementy kontrprzykładu:
- Wybór liczb pierwszych p_i ≈ √(n log n).
- Zabronione klasy A_i symetryczne względem interwałów.
- Ułamek ocalałych liczb nie spada poniżej stałej, a nie o(1).
To obala hipotezę Erdősa. Status zadania na erdosproblems.com zaktualizowano na „rozwiązane negatywnie".
Poprzednie sukcesy AI w zadaniach Erdősa
Baza Erdősa zawiera setki otwartych problemów. AI rozwiązało już dziesiątki z nich o różnym znaczeniu:
- Zadania z teorii grafów (np. o liczbach Ramseya).
- Problemy kombinatoryki zbiorów.
- Addytywne bazy i progresje.
Wiki projektu rejestruje wkłady od AlphaProof, Lean i innych systemów. Rozwiązanie z listy Greena to kamień milowy: jego zadania wybrano jako najbardziej obiecujące dla postępu w dziedzinie.
Ben Green, którego twierdzenie z Terence'em Tao opisuje arytmetyczne progresje wśród liczb pierwszych, kuriroval listę, skupiając się na addytywnej kombinatoryce. Przełom GPT-5.4 Pro pokazuje potencjał dużych modeli językowych w formalnej matematyce.
Co ważne
- Odpowiedź negatywna: |S| ≥ (1/2 - c)n przy p_i ~ √(n log n), kontrprzykład z interwałami i AP.
- Pierwsze z „zielonej listy": Green wybrał 100 kluczowych zadań; AI wcześniej omijało tylko ogólną bazę Erdősa.
- Metodologia: Współpraca człowieka i AI — Price zweryfikował konstrukcję modelu.
- Szerszy kontekst: Sukcesy AI w ponad 30 zadaniach Erdősa przyspieszają postęp w kombinatoryce.
- Status: Zadanie nr 1202 zamknięte jako nierozwiązywalne w sensie pozytywnym.
Rozwiązanie podkreśla zmianę: AI nie tylko weryfikuje hipotezy, ale buduje kontrprzykład w nierozstrzygniętych obszarach. Dla programistów to sygnał do integracji LLM z asystentami dowodowymi typu Lean czy Isabelle.
— Editorial Team
Brak komentarzy.