Model OpenAI vyřešila 3 problémy Erdőše

# OpenAI vyřešila tři úlohy Erdőse: interní model překonává veřejné analogy

Interní model OpenAI samostatně dokázal tři otevřené úlohy Paula Erdőse, formulované před desetiletími. Autoři preprintu – Boris Alekseev, Mo Pattterman, Mehtaab Soni, Mark Sellke a Gregory Valiant – potvrdili, že důkazy byly získány plně AI, jejich role se omezila na redakci pro lepší srozumitelnost. Veřejná GPT-5.4 Pro zvládla pouze dvě ze tří úloh, což zdůrazňuje nadřazenost interního systému.

Řešení úlohy #684: polylogaritmický odhad

Úloha #684 z Erdősova seznamu se týká malých prvočíselných dělitelů binomických koeficientů. Model stanovil polylogaritmický horní odhad jejich frekvence. Předchozí výsledky byly omezeny na subpolynomiální hranici, což činí tento pokrok významným.

Toto dosažení demonstruje schopnost AI pracovat s asymptotickými odhady v kombinatorice. Důkaz vychází z probabilistických metod a vlastností prvočísel v binomických koeficientech a zlepšuje teoretické hranice pro další výzkum.

Kontrpříklad k úloze #741

Úloha #741 formuluje otázku Burra a Erdőse o rozdělení aditivní báze druhého řádu na dvě části. Vyžaduje se, aby součty v každé části měly omezené mezery. Model navrhl explicitní kontrpříklad, který vyvrací hypotézu.

Erdős považoval úlohu za řešitelnou, ale nedokončil důkaz. Kontrpříklad využívá konstrukci množin s kontrolovanými hustotami, která porušuje podmínku omezených mezer v součtech. Jedná se o první striktní vyvrácení předpokladu.

• Klíčové prvky kontrpříkladu:

- Aditivní báze druhého řádu s danou hustotou.

- Rozdělení na podmnožiny s asymetrickými vlastnostmi součtů.

- Demonstrace neomezených mezer v jedné z částí.

Kompletní důkaz hypotézy #997

Úloha #997 (rok 1964) tvrdí, že zlomkové části {α p_n} (kde p_n jsou prvočísla) nikdy nejsou dobře rozloženy. V roce 2024 to Champagne, Le, Liu a Wu dokázali pro konkrétní α. Model OpenAI zgeneralizoval výsledek na všechna α.

Důkaz kombinuje analytickou teorii čísel a vlastnosti posloupností prvočísel. Ukazuje absence rovnoměrnosti v rozložení prostřednictvím odhadu disperze.

Srovnání s veřejnými modely

Testování na GPT-5.4 Pro odhalilo omezení:

• Úloha #684: vyřešena za <10 pokusů.
• Úloha #741: nevyřešena ani po opakovaných pokusech.
• Úloha #997: vyřešena za <10 pokusů.

Selhání u #741 ukazuje na vyšší schopnosti interního modelu, předpokládaně Spud. To potvrzuje existence mezer ve veřejných verzích.

Historický kontext:

• Říjen 2025: GPT-5 „vyřešila“ 10 úloh, ale kopírovala literaturu.
• Leden 2026: GPT-5.2 Pro + Aristotle vyřešily #728 – první originální důkaz AI.

Tento preprint stanovuje nový standard: tři originální důkazy bez lidského příspěvku k matematice.

Co je důležité

• Interní model OpenAI generuje originální důkazy Erdősových úloh, nedostupné veřejným verzím.
• Polylogaritmický odhad pro #684 zlepšuje předchozí subpolynomiální hranice.
• Kontrpříklad pro #741 vyvrací hypotézu Burra-Erdőse o bázích.
• Kompletní důkaz #997 pro všechna α uzavírá 60letý problém.
• Testy na GPT-5.4 Pro zdůrazňují rozdíly v schopnostech modelů.

— Editorial Team