OpenAI 모델이 3개의 Erdős 문제를 해결

# OpenAI 내부 모델, Erdős 문제 3개 해결: 공개 버전 능가

오픈AI의 내부 모델이 수십 년 전 폴 에르도스가 제기한 세 개의 오픈 문제를 독자적으로 증명했다. 프리프린트 저자들—Boris Alekseev, Mo Patterson, Mehtab Soni, Mark Sellke, Gregory Valiant—은 증명들이 전적으로 AI에 의해 생성되었으며, 그들의 역할은 명확성을 위한 편집에 그쳤다고 확인했다. 공개 버전인 GPT-5.4 Pro는 세 문제 중 두 개만 풀었을 뿐이며, 이는 내부 시스템의 우수성을 부각시킨다.

문제 #684 해결: 폴리로그 상한

에르도스 목록의 문제 #684는 이항계수의 작은 소인수에 관한 것이다. 모델은 이들의 빈도에 대한 폴리로그 상한을 확립했다. 이전 결과들은 준다항 상한에 머물렀기 때문에 이번 성과는 중대하다.

이 성과는 AI가 조합론에서 점근 추정을 다룰 수 있음을 보여준다. 증명은 확률적 방법과 이항계수 내 소수의 성질에 의존하며, 후속 연구를 위한 이론적 상한을 개선한다.

문제 #741에 대한 반례

문제 #741은 Burr와 Erdős가 제기한 것으로, 차수 2의 가법 기저를 두 부분으로 분할하는 문제다. 각 부분의 합집합은 유계 간격을 가져야 한다. 모델은 명시적 반례를 구성하여 이 추측을 반증했다.

에르도스는 이 문제를 풀 수 있을 것으로 보았으나 증명을 완성하지 못했다. 반례는 제어된 밀도를 가진 집합 구성으로, 합의 유계 간격 조건을 위반한다. 이는 추측에 대한 최초의 엄밀한 반증이다.

• 반례의 핵심 요소:

- 지정된 밀도의 차수 2 가법 기저.

- 비대칭 합 성질을 가진 부분집합으로의 분할.

- 한 부분에서 무한 간격 증명.

가설 #997 완전 증명

문제 #997(1964)은 분수 부분 {α p_n} (여기서 p_n은 소수)이 결코 잘 분포되지 않는다고 주장한다. 2024년에 Champagne, Le, Liu, Wu가 특정 α에 대해 이를 증명했다. 오픈AI 모델은 모든 α에 대해 결과를 일반화했다.

증명은 해석적 수론과 소수 수열의 성질을 결합한다. 분산 추정을 통해 분포의 균일성 부족을 보인다.

공개 모델과의 비교

GPT-5.4 Pro에 대한 테스트에서 한계가 드러났다:

• 문제 #684: 10회 미만 시도 내 해결.
• 문제 #741: 여러 시도에도 미해결.
• 문제 #997: 10회 미만 시도 내 해결.

#741 실패는 내부 모델(아마 Spud)의 우월한 능력을 가리키며, 공개 버전의 격차를 확인한다.

역사적 맥락:

• 2025년 10월: GPT-5가 10개 문제 '해결'했으나 문헌 복사.
• 2026년 1월: GPT-5.2 Pro + Aristotle이 #728 해결—최초 원래 AI 증명.

이번 프리프린트는 인간 수학적 입력 없이 세 개의 원래 증명을 제시하며 새로운 기준을 세운다.

중요한 점

• 오픈AI 내부 모델이 공개 버전에 없는 Erdős 문제 원래 증명 생성.
• #684에 대한 폴리로그 상한이 이전 준다항 상한 개선.
• #741 반례로 Burr–Erdős 기저 추측 반증.
• 모든 α에 대한 #997 완전 증명으로 60년 된 문제 마무리.
• GPT-5.4 Pro 테스트로 모델 간 능력 격차 부각.

— Editorial Team