# OpenAI resuelve tres problemas de Erdős: el modelo interno supera a las versiones públicas
El modelo interno de OpenAI demostró de forma independiente tres problemas abiertos planteados por Paul Erdős hace décadas. Los autores del preprint —Boris Alekseev, Mo Patterson, Mehtab Soni, Mark Sellke y Gregory Valiant— confirmaron que las demostraciones fueron generadas enteramente por IA, y su rol se limitó a editarlas para mayor claridad. El GPT-5.4 Pro público solo resolvió dos de tres problemas, lo que resalta la superioridad del sistema interno.
Solución al Problema #684: Límite polilogarítmico
El Problema #684 de la lista de Erdős trata sobre los pequeños factores primos de los coeficientes binomiales. El modelo estableció un límite superior polilogarítmico en su frecuencia. Resultados previos se limitaban a límites subpolinómicos, lo que hace que este avance sea significativo.
Este logro demuestra la capacidad de la IA para trabajar con estimaciones asintóticas en combinatoria. La demostración se basa en métodos probabilísticos y propiedades de los primos en coeficientes binomiales, mejorando los límites teóricos para investigaciones futuras.
Contraejemplo para el Problema #741
El Problema #741 plantea una pregunta de Burr y Erdős sobre la partición de una base aditiva de orden dos en dos partes. Las sumas en cada parte deben tener brechas acotadas. El modelo construyó un contraejemplo explícito, refutando la conjetura.
Erdős consideraba el problema resoluble, pero nunca completó la demostración. El contraejemplo usa una construcción de conjuntos con densidades controladas, violando la condición de brechas acotadas en las sumas. Esta es la primera refutación rigurosa de la conjetura.
- Elementos clave del contraejemplo:
- Base aditiva de orden dos con densidad especificada.
- Partición en subconjuntos con propiedades de suma asimétricas.
- Demostración de brechas ilimitadas en una de las partes.
Demostración completa de la Hipótesis #997
El Problema #997 (1964) afirma que las partes fraccionarias {α p_n} (donde p_n son primos) nunca están bien distribuidas. En 2024, Champagne, Le, Liu y Wu demostraron esto para un α específico. El modelo de OpenAI generalizó el resultado a todos los α.
La demostración combina teoría de números analítica y propiedades de secuencias de primos. Muestra la falta de uniformidad en la distribución mediante una estimación de varianza.
Comparación con modelos públicos
Las pruebas en GPT-5.4 Pro revelaron limitaciones:
- Problema #684: resuelto en <10 intentos.
- Problema #741: sin resolver incluso después de múltiples intentos.
- Problema #997: resuelto en <10 intentos.
El fracaso en #741 señala las mayores capacidades del modelo interno, presumiblemente Spud. Esto confirma las brechas en las versiones públicas.
Contexto histórico:
- Octubre de 2025: GPT-5 «resolvió» 10 problemas, pero copiados de la literatura.
- Enero de 2026: GPT-5.2 Pro + Aristotle resolvió #728 —la primera demostración original de IA.
El preprint actual establece un nuevo estándar: tres demostraciones originales sin aportes matemáticos humanos.
Lo que importa
- El modelo interno de OpenAI genera demostraciones originales de problemas de Erdős no disponibles en versiones públicas.
- Límite polilogarítmico para #684 mejora límites subpolinómicos previos.
- Contraejemplo para #741 refuta la conjetura de Burr–Erdős sobre bases.
- Demostración completa de #997 para todos los α cierra un problema de 60 años.
- Pruebas en GPT-5.4 Pro destacan la brecha de capacidades entre modelos.
— Editorial Team
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