# OpenAI löst drei Erdős-Probleme: Internes Modell übertrifft öffentliche Versionen
Das interne Modell von OpenAI hat unabhängig drei offene Probleme gelöst, die Paul Erdős vor Jahrzehnten gestellt hat. Die Autoren des Preprints – Boris Alekseev, Mo Patterson, Mehtab Soni, Mark Sellke und Gregory Valiant – bestätigten, dass die Beweise vollständig von KI generiert wurden, wobei ihre Rolle sich auf die Bearbeitung zur Klarstellung beschränkte. Das öffentliche GPT-5.4 Pro schaffte nur zwei von drei Problemen, was die Überlegenheit des internen Systems unterstreicht.
Lösung zu Problem #684: Polylogarithmische Obergrenze
Problem #684 aus der Erdős-Liste befasst sich mit kleinen Primfaktoren von Binomialkoeffizienten. Das Modell hat eine polylogarithmische Obergrenze für ihre Häufigkeit nachgewiesen. Frühere Ergebnisse waren auf subpolynomiale Schranken beschränkt, was diesen Fortschritt bedeutend macht.
Dieser Erfolg demonstriert die Fähigkeit von KI, mit asymptotischen Abschätzungen in der Kombinatorik zu arbeiten. Der Beweis stützt sich auf probabilistische Methoden und Eigenschaften von Primzahlen in Binomialkoeffizienten und verbessert theoretische Schranken für weitere Forschung.
Gegenbeispiel für Problem #741
Problem #741 wirft eine Frage von Burr und Erdős zur Partitionierung einer additiven Basis zweiter Ordnung in zwei Teile auf. Die Summen in jedem Teil müssen beschränkte Lücken aufweisen. Das Modell konstruierte ein explizites Gegenbeispiel, das die Vermutung widerlegt.
Erdős hielt das Problem für lösbar, hat den Beweis aber nie vollendet. Das Gegenbeispiel nutzt eine Konstruktion von Mengen mit kontrollierten Dichten, die die Bedingung beschränkter Lücken in den Summen verletzt. Dies ist die erste rigorose Widerlegung der Vermutung.
- Schlüsselelemente des Gegenbeispiels:
- Additive Basis zweiter Ordnung mit vorgegebener Dichte.
- Partitionierung in Teilmengen mit asymmetrischen Summeneigenschaften.
- Nachweis unbeschränkter Lücken in einem der Teile.
Vollständiger Beweis zu Problem #997
Problem #997 (1964) besagt, dass die Fraktionalteile {α p_n} (wobei p_n Primzahlen sind) nie gutverteilt sind. 2024 bewiesen Champagne, Le, Liu und Wu dies für ein spezifisches α. Das OpenAI-Modell verallgemeinerte das Ergebnis auf alle α.
Der Beweis verbindet analytische Zahlentheorie und Eigenschaften von Primzahlenfolgen. Er zeigt den Mangel an Uniformität in der Verteilung durch eine Varianzschätzung.
Vergleich mit öffentlichen Modellen
Tests mit GPT-5.4 Pro offenbarten Einschränkungen:
- Problem #684: gelöst in <10 Versuchen.
- Problem #741: ungelöst trotz mehrerer Versuche.
- Problem #997: gelöst in <10 Versuchen.
Das Scheitern bei #741 weist auf die höheren Fähigkeiten des internen Modells hin, vermutlich Spud. Dies bestätigt Lücken in den öffentlichen Versionen.
Historischer Kontext:
- Oktober 2025: GPT-5 „löste“ 10 Probleme, kopierte aber aus der Literatur.
- Januar 2026: GPT-5.2 Pro + Aristotle löste #728 – der erste originale KI-Beweis.
Das aktuelle Preprint setzt einen neuen Standard: drei originale Beweise ohne menschliche mathematische Eingaben.
Was zählt
- Das interne Modell von OpenAI erzeugt originale Beweise zu Erdős-Problemen, die öffentlichen Versionen nicht zugänglich sind.
- Polylogarithmische Obergrenze für #684 verbessert frühere subpolynomiale Schranken.
- Gegenbeispiel für #741 widerlegt die Burr–Erdős-Vermutung zu Basen.
- Vollständiger Beweis zu #997 für alle α schließt ein 60 Jahre altes Problem.
- Tests mit GPT-5.4 Pro heben die Fähigkeitslücke zwischen den Modellen hervor.
— Editorial Team
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