OpenAI 模型解决了 3 个埃尔德什问题

# OpenAI 攻克三个 Erdős 难题：内部模型超越公开版本

OpenAI 的内部模型独立证明了 Paul Erdős 几十年前提出的三个开放问题。预印本作者——Boris Alekseev、Mo Patterson、Mehtab Soni、Mark Sellke 和 Gregory Valiant——证实，这些证明完全由人工智能生成，他们的角色仅限于编辑以提高清晰度。公开的 GPT-5.4 Pro 只解决了其中两个问题，这突显了内部系统的优越性。

#684 问题的解法：多对数上界

Erdős 问题列表中的 #684 问题涉及二项式系数的素小因子。模型确立了其出现频率的多对数上界。此前的结果仅限于次多项式界，这项进展意义重大。

这一成就展示了人工智能在组合学中处理渐近估计的能力。证明依赖于概率方法和二项式系数中素数的性质，为进一步研究改进了理论界。

#741 问题的反例

#741 问题是由 Burr 和 Erdős 提出的一个关于将二阶加性基分成两部分的问题。每部分的和必须具有有界间隙。模型构造了一个明确的的反例，推翻了该猜想。

Erdős 认为该问题可解但从未完成证明。反例使用了密度可控的集合构造，违反了和的有界间隙条件。这是该猜想的首次严格反驳。

• 反例的关键元素：

- 指定密度的二阶加性基。

- 分割成具有非对称和性质的子集。

- 展示其中一部分的无界间隙。

#997 假设的完整证明

#997 问题（1964）指出，小数部分 {α p_n}（其中 p_n 为素数）绝非良分布。2024 年，Champagne、Le、Liu 和 Wu 对特定 α 证明了这一点。OpenAI 模型将结果推广到所有 α。

证明结合了解析数论和素数序列的性质。通过方差估计展示了分布的非均匀性。

与公开模型的比较

对 GPT-5.4 Pro 的测试揭示了其局限性：

• #684 问题：<10 次尝试内解决。
• #741 问题：多次尝试后仍未解决。
• #997 问题：<10 次尝试内解决。

在 #741 上的失败表明内部模型（推测为 Spud）能力更高。这证实了公开版本的差距。

历史背景：

• 2025 年 10 月：GPT-5 “解决”了 10 个问题，但抄袭了文献。
• 2026 年 1 月：GPT-5.2 Pro + Aristotle 解决了 #728——首个原创人工智能证明。

当前预印本设定了新标准：三个无需人类数学输入的原创证明。

关键点

• OpenAI 内部模型生成了公开版本无法触及的 Erdős 问题的原创证明。
• #684 的多对数界改进了此前的次多项式界。
• #741 的反例推翻了 Burr–Erdős 关于基的猜想。
• #997 对所有 α 的完整证明解决了这个 60 年老问题。
• 对 GPT-5.4 Pro 的测试突显了模型间的能力差距。

— Editorial Team