Model OpenAI rozwiązał 3 problemy Erdősa

# OpenAI rozwiązuje trzy problemy Erdősa: wewnętrzny model przewyższa publiczne odpowiedniki

Wewnętrzny model OpenAI samodzielnie udowodnił trzy otwarte problemy Paula Erdősa, sformułowane dekady temu. Autorzy preprintu — Boris Alekseev, Mo Patteman, Mehtab Soni, Mark Sellke i Gregory Valiant — potwierdzili, że dowody zostały uzyskane w pełni przez AI, a ich rola ograniczyła się do edycji dla jasności. Publiczna GPT-5.4 Pro poradziła sobie tylko z dwoma z trzech zadań, co podkreśla wyższość wewnętrznego systemu.

Rozwiązanie problemu #684: polilogarytmiczna ocena

Problem #684 z listy Erdősa dotyczy małych prostych dzielników współczynników binarnych. Model ustalił polilogarytmiczną górną ocenę ich częstości. Poprzednie wyniki ograniczały się do subpolinomialnej granicy, co czyni ten postęp znaczącym.

To osiągnięcie demonstruje zdolność AI do pracy z asymptotycznymi ocenami w kombinatoryce. Dowód opiera się na metodach probabilistycznych i właściwościach liczb pierwszych we współczynnikach binarnych, poprawiając teoretyczne granice dla dalszych badań.

Kontrprzykład dla problemu #741

Problem #741 formułuje pytanie Burra i Erdősa dotyczące rozbicia addytywnej bazy drugiego rzędu na dwie części. Wymaga się, aby sumy w każdej części miały ograniczone luki. Model skonstruował jawny kontrprzykład, obalając hipotezę.

Erdős uważał problem za rozwiązywalny, ale nie doprowadził dowodu do końca. Kontrprzykład wykorzystuje konstrukcję zbiorów o kontrolowanych gęstościach, naruszając warunek ograniczonych luk w sumach. To pierwszy ścisły kontrargument wobec założenia.

• Kluczowe elementy kontrprzykładu:

- Adytywna baza drugiego rzędu o zadanej gęstości.

- Rozbicie na podzbiory o asymetrycznych właściwościach sum.

- Demonstracja nieograniczonych luk w jednej z części.

Pełny dowód hipotezy #997

Problem #997 (1964 rok) twierdzi, że ułamkowe części {α p_n} (gdzie p_n — liczby pierwsze) nigdy nie są dobrze rozłożone. W 2024 roku Champagne, Le, Liu i Wu udowodnili to dla konkretnego α. Model OpenAI uogólnił wynik na wszystkie α.

Dowód łączy analityczną teorię liczb i właściwości sekwencji liczb pierwszych. Pokazuje brak jednorodności w rozkładzie poprzez ocenę wariancji.

Porównanie z publicznymi modelami

Testy na GPT-5.4 Pro ujawniły ograniczenia:

• Problem #684: rozwiązany w <10 próbach.
• Problem #741: nierozwiązany nawet po wielu próbach.
• Problem #997: rozwiązany w <10 próbach.

Niepowodzenie z #741 wskazuje na wyższe zdolności wewnętrznego modelu, prawdopodobnie Spud. To potwierdza luki w publicznych wersjach.

Kontekst historyczny:

• Październik 2025: GPT-5 "rozwiązała" 10 problemów, ale kopiowała literaturę.
• Styczeń 2026: GPT-5.2 Pro + Aristotle rozwiązali #728 — pierwsze oryginalne dowody AI.

Obecny preprint ustanawia nowy standard: trzy oryginalne dowody bez wkładu ludzkiego w matematykę.

Co ważne

• Wewnętrzny model OpenAI generuje oryginalne dowody problemów Erdősa, niedostępne publicznym wersjom.
• Polilogarytmiczna ocena dla #684 poprawia poprzednie subpolinomialne granice.
• Kontrprzykład dla #741 obala hipotezę Burra-Erdősa o bazach.
• Pełny dowód #997 dla wszystkich α zamyka 60-letni problem.
• Testy na GPT-5.4 Pro podkreślają różnicę w możliwościach modeli.

— Editorial Team