Modèle OpenAI a Résolu 3 Problèmes d'Erdős

# OpenAI résout trois problèmes d'Erdős : le modèle interne surpasse les versions publiques

Le modèle interne d'OpenAI a indépendamment démontré trois problèmes ouverts posés par Paul Erdős il y a des décennies. Les auteurs de la prépublication — Boris Alekseev, Mo Patterson, Mehtab Soni, Mark Sellke et Gregory Valiant — ont confirmé que les preuves ont été générées entièrement par IA, leur rôle se limitant à des retouches pour plus de clarté. Le GPT-5.4 Pro public n'a réussi que deux problèmes sur trois, soulignant la supériorité du système interne.

Solution au problème n° 684 : majoration polylogarithmique

Le problème n° 684 de la liste d'Erdős porte sur les petits facteurs premiers des coefficients binomiaux. Le modèle a établi une majoration polylogarithmique supérieure de leur fréquence. Les résultats antérieurs se limitaient à des majorations sous-polynomiales, rendant ce progrès significatif.

Cette réalisation démontre la capacité de l'IA à travailler avec des estimations asymptotiques en combinatoire. La preuve repose sur des méthodes probabilistes et les propriétés des nombres premiers dans les coefficients binomiaux, améliorant les majorations théoriques pour de futures recherches.

Contre-exemple pour le problème n° 741

Le problème n° 741 pose une question de Burr et Erdős sur la partition d'une base additive d'ordre deux en deux parties. Les sommes dans chaque partie doivent avoir des écarts bornés. Le modèle a construit un contre-exemple explicite, infirmant la conjecture.

Erdős considérait le problème comme soluble mais n'a jamais achevé la preuve. Le contre-exemple utilise une construction d'ensembles à densités contrôlées, violant la condition d'écarts bornés dans les sommes. Il s'agit de la première infirmation rigoureuse de la conjecture.

• Éléments clés du contre-exemple :

- Base additive d'ordre deux avec densité spécifiée.

- Partition en sous-ensembles avec propriétés de sommes asymétriques.

- Démonstration d'écarts non bornés dans l'une des parties.

Preuve complète de l'hypothèse n° 997

Le problème n° 997 (1964) affirme que les parties fractionnaires {α p_n} (où p_n sont les nombres premiers) ne sont jamais bien distribuées. En 2024, Champagne, Le, Liu et Wu ont prouvé cela pour un α spécifique. Le modèle OpenAI a généralisé le résultat à tous les α.

La preuve combine la théorie analytique des nombres et les propriétés des suites de nombres premiers. Elle montre le manque d'uniformité dans la distribution via une estimation de la variance.

Comparaison avec les modèles publics

Les tests sur GPT-5.4 Pro ont révélé des limites :

• Problème n° 684 : résolu en <10 tentatives.
• Problème n° 741 : non résolu même après plusieurs tentatives.
• Problème n° 997 : résolu en <10 tentatives.

L'échec sur le n° 741 souligne les capacités supérieures du modèle interne, vraisemblablement Spud. Cela confirme les écarts entre les versions publiques.

Contexte historique :

• Octobre 2025 : GPT-5 « résout » 10 problèmes mais copie la littérature.
• Janvier 2026 : GPT-5.2 Pro + Aristotle résout le n° 728 — la première preuve IA originale.

La prépublication actuelle établit un nouveau standard : trois preuves originales sans apport mathématique humain.

Ce qui compte

• Le modèle interne d'OpenAI génère des preuves originales de problèmes d'Erdős indisponibles dans les versions publiques.
• Majoration polylogarithmique pour le n° 684 améliore les majorations sous-polynomiales antérieures.
• Contre-exemple pour le n° 741 infirme la conjecture de Burr–Erdős sur les bases.
• Preuve complète du n° 997 pour tous les α clôt un problème vieux de 60 ans.
• Tests sur GPT-5.4 Pro mettent en lumière l'écart de capacités entre les modèles.

— Editorial Team