Konstrukce reálných čísel ve formální matematice

Formální konstrukce reálných čísel z základních stavebních bloků

Reálná čísla ℝ se v formální matematice nezavádějí intuitivně, ale postupným rozšířením přirozených čísel. Od aritmetiky počátku, kde se čísla staví z nuly a funkce následovníka S, se systém vyvíjí k celým číslům ℤ, racionálním ℚ a nakonec k reálným ℝ. Tím se odstraní mezery v definicích a vysvětlují 'podivnosti' nekonečna, jako je nekomutativita ω + 1 ≠ 1 + ω.

Přirozená čísla jsou definována rekurzivně:

1 := S(0)
2 := S(S(0))
...

Sčítání je zadáno pravidly:

a + 0 := a
a + S(b) := S(a + b)

To umožňuje výpočet 2 + 2 substitucí: 2 + 2 = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = 4. Násobení je podobné:

a · 0 := 0
a · S(b) := a · b + a

Příklad: 5 · 3 = 5 · 2 + 5 = 5 · 1 + 5 + 5 = 15.

Celá čísla jako třídy ekvivalence

Celá čísla ℤ rozšiřují ℕ o záporné hodnoty prostřednictvím uspořádaných dvojic přirozených čísel: i = (a, b), kde +5 = (5, 0), -5 = (0, 5). V teorii množin je dvojice zakódována podle Kuratowského: (a, b) := {{a}, {a, b}}.

Sčítání: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d).

Násobení: (a, b) · (c, d) := (a·c + b·d, a·d + b·c).

Dvojice jsou ekvivalentní, pokud a + d = c + b. Každé celé číslo je třídou ekvivalence takových dvojic. Mohutnost |ℤ| = |ℕ|, protože existuje bijekce: sudá pro kladná, lichá pro záporná.

Racionální čísla a jejich mohutnost

Racionální čísla ℚ jsou dvojice celých čísel (a, b) s b ≠ 0, ekvivalentní podle a·d = c·b. Násobení: (a, b) · (c, d) := (a·c, b·d). Sčítání: (a, b) + (c, d) := (a·d + c·b, b·d).

|ℚ| = |ℕ|: kladná racionální čísla se umístí do tabulky x/y, obcházení diagonálami (zigzag) dává bijekci s ℕ.

• Diagonála 1: 1/1
• Diagonála 2: 1/2, 2/1
• Diagonála 3: 3/1, 2/2, 1/3

Ignorováním ekvivalencí (2/2 = 1/1) obcházení pokrývá všechna ℚ⁺.

Problém reálných čísel

Reálná čísla ℝ se nedají snadno zredukovat na dvojice a třídy ekvivalence jako ℚ. Dedekind zavedl ℝ jako řezy racionálních čísel: rozdělení ℚ na A a B, kde ∀a∈A < ∀b∈B, A nemá maximum, B nemá minimum.

Například √2 odpovídá {q ∈ ℚ | q² < 2} a {q ∈ ℚ | q² ≥ 2}.

Každý řez jednoznačně určuje reálné číslo. Aritmetika na řezech:

• Sčítání řezů A₁∪A₂ (s racionální korekcí).
• Násobení prostřednictvím čtverců.

Mohutnost a kontinuum

|ℝ| > |ℚ|: Cantorův diagonální argument. Předpokládejme bijekci f: ℕ → (0,1). Sestrojíme r s r_i ≠ f(i)_i — spor.

r = 0.r₁r₂r₃...
 kde r_i ≠ (f(i))_i

Takže kontinuum 2^ℵ₀ > ℵ₀. Ordinály ω a kardinály se liší: ω + 1 > ω, ale |ω| = |ω + 1|.

Co je důležité

• Přirozená čísla: rekurze z 0 a S, |ℕ| = ℵ₀.
• Celá a racionální čísla: dvojice s ekvivalencemi, stejná mohutnost ℵ₀.
• Reálná čísla: Dedekindovy řezy nebo Cauchyho posloupnosti, |ℝ| = 2^ℵ₀.
• Nekonečna nejsou komutativní: ω + 1 ≠ 1 + ω.

— Editorial Team