Estructura de los números reales en matemáticas formales

Construcción formal de los números reales a partir de estructuras fundamentales

Los números reales ℝ no se introducen de forma intuitiva en las matemáticas formales, sino mediante una extensión paso a paso de los números naturales. Comenzando con la aritmética de Peano —donde los números se construyen a partir del 0 y la función sucesor S—, el sistema evoluciona hacia los enteros ℤ, los racionales ℚ y finalmente los números reales ℝ. Este enfoque elimina lagunas definicionales y aclara 'extrañezas' del infinito, como la no conmutatividad de ω + 1 ≠ 1 + ω.

Los números naturales se definen recursivamente:

1 := S(0)
2 := S(S(0))
...

La suma se define mediante reglas:

a + 0 := a
a + S(b) := S(a + b)

Esto permite calcular 2 + 2 mediante sustitución: 2 + 2 = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = 4. La multiplicación sigue un patrón similar:

a · 0 := 0
a · S(b) := a · b + a

Ejemplo: 5 · 3 = 5 · 2 + 5 = 5 · 1 + 5 + 5 = 15.

Enteros como clases de equivalencia

Los enteros ℤ amplían ℕ para incluir valores negativos usando pares ordenados de números naturales: i = (a, b), donde +5 = (5, 0) y -5 = (0, 5). En teoría de conjuntos, un par se codifica mediante Kuratowski: (a, b) := {{a}, {a, b}}.

Suma: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d).

Multiplicación: (a, b) · (c, d) := (a·c + b·d, a·d + b·c).

Los pares son equivalentes si a + d = c + b. Cada entero es una clase de equivalencia de tales pares. La cardinalidad |ℤ| = |ℕ|, ya que existe una biyección: números pares para positivos, impares para negativos.

Números racionales y su cardinalidad

Los racionales ℚ son pares de enteros (a, b) con b ≠ 0, equivalentes bajo a·d = c·b. Multiplicación: (a, b) · (c, d) := (a·c, b·d). Suma: (a, b) + (c, d) := (a·d + c·b, b·d).

|ℚ| = |ℕ|: los racionales positivos se organizan en una cuadrícula x/y, recorrida diagonalmente (en zigzag) para obtener una biyección con ℕ.

• Diagonal 1: 1/1
• Diagonal 2: 1/2, 2/1
• Diagonal 3: 3/1, 2/2, 1/3

Ignorando fracciones equivalentes (por ejemplo, 2/2 = 1/1), este recorrido cubre todos los ℚ⁺.

El desafío de los números reales

Los números reales ℝ no pueden reducirse a pares o clases de equivalencia como ℚ. Dedekind introdujo ℝ como cortes de racionales: una partición de ℚ en dos conjuntos A y B tales que ∀a∈A < ∀b∈B, A no tiene máximo y B no tiene mínimo.

Por ejemplo, √2 corresponde a {q ∈ ℚ | q² < 2} y {q ∈ ℚ | q² ≥ 2}.

Cada corte define de forma única un número real. Las operaciones sobre cortes:

• Suma: A₁ ∪ A₂ (con corrección racional).
• Multiplicación: mediante cuadrados.

Cardinalidad y el continuo

|ℝ| > |ℚ|: argumento diagonal de Cantor. Supongamos una biyección f: ℕ → (0,1). Construimos r tal que r_i ≠ f(i)_i — contradicción.

r = 0.r₁r₂r₃...
donde r_i ≠ (f(i))_i

Así, el continuo 2^ℵ₀ > ℵ₀. Los ordinales y cardinales divergen: ω + 1 > ω, pero |ω| = |ω + 1|.

Puntos clave

• Números naturales: construcción recursiva desde 0 y S, |ℕ| = ℵ₀.
• Enteros y racionales: pares con relaciones de equivalencia, misma cardinalidad ℵ₀.
• Reales: cortes de Dedekind o sucesiones de Cauchy, |ℝ| = 2^ℵ₀.
• Los infinitos no son conmutativos: ω + 1 ≠ 1 + ω.

— Editorial Team