Struktur der reellen Zahlen in der formalen Mathematik

Formale Konstruktion der reellen Zahlen aus grundlegenden Strukturen

Reelle Zahlen ℝ werden in der formalen Mathematik nicht intuitiv eingeführt, sondern schrittweise durch Erweiterung der natürlichen Zahlen. Ausgehend von der Peano-Arithmetik – bei der Zahlen aus 0 und der Nachfolgerfunktion S aufgebaut werden – entwickelt sich das System über die ganzen Zahlen ℤ, die rationalen Zahlen ℚ hin zu den reellen Zahlen ℝ. Dieser Ansatz beseitigt definitorische Lücken und klärt "Paradoxien" der Unendlichkeit, wie die Nicht-Kommutativität von ω + 1 ≠ 1 + ω.

Natürliche Zahlen werden rekursiv definiert:

1 := S(0)
2 := S(S(0))
...

Addition wird durch Regeln festgelegt:

a + 0 := a
a + S(b) := S(a + b)

Damit lässt sich 2 + 2 durch Substitution berechnen: 2 + 2 = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = 4. Multiplikation folgt analog:

a · 0 := 0
a · S(b) := a · b + a

Beispiel: 5 · 3 = 5 · 2 + 5 = 5 · 1 + 5 + 5 = 15.

Ganze Zahlen als Äquivalenzklassen

Ganze Zahlen ℤ erweitern ℕ um negative Werte mittels geordneter Paare natürlicher Zahlen: i = (a, b), wobei +5 = (5, 0) und -5 = (0, 5). In der Mengenlehre wird ein Paar über Kuratowski codiert: (a, b) := {{a}, {a, b}}.

Addition: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d).

Multiplikation: (a, b) · (c, d) := (a·c + b·d, a·d + b·c).

Paare sind äquivalent, wenn a + d = c + b. Jede ganze Zahl ist eine Äquivalenzklasse solcher Paare. Die Mächtigkeit |ℤ| = |ℕ|, da eine Bijektion existiert: gerade Zahlen für positive, ungerade für negative Werte.

Rationale Zahlen und ihre Mächtigkeit

Rationale Zahlen ℚ sind Paare ganzer Zahlen (a, b) mit b ≠ 0, äquivalent unter a·d = c·b. Multiplikation: (a, b) · (c, d) := (a·c, b·d). Addition: (a, b) + (c, d) := (a·d + c·b, b·d).

|ℚ| = |ℕ|: Positive rationale Zahlen werden in einem Gitter x/y angeordnet und diagonal (zickzackartig) durchlaufen, was eine Bijektion mit ℕ ergibt.

• Diagonale 1: 1/1
• Diagonale 2: 1/2, 2/1
• Diagonale 3: 3/1, 2/2, 1/3

Äquivalente Brüche (z. B. 2/2 = 1/1) werden ignoriert, sodass alle ℚ⁺ abgedeckt sind.

Die Herausforderung der reellen Zahlen

Reelle Zahlen ℝ können nicht wie ℚ auf Paaren oder Äquivalenzklassen basieren. Dedekind führte ℝ als Schnitte rationaler Zahlen ein: Eine Zerlegung von ℚ in Mengen A und B mit ∀a∈A < ∀b∈B, A hat kein Maximum, B hat kein Minimum.

Zum Beispiel entspricht √2 der Menge {q ∈ ℚ | q² < 2} und {q ∈ ℚ | q² ≥ 2}.

Jeder Schnitt definiert eindeutig eine reelle Zahl. Arithmetik auf Schnitten:

• Addition: A₁ ∪ A₂ (mit rationaler Korrektur).
• Multiplikation: über Quadrate.

Mächtigkeit und das Kontinuum

|ℝ| > |ℚ|: Cantors Diagonalargument. Angenommen, es gäbe eine Bijektion f: ℕ → (0,1). Konstruiere r mit r_i ≠ f(i)_i – Widerspruch.

r = 0.r₁r₂r₃...
wobei r_i ≠ (f(i))_i

Somit ist das Kontinuum 2^ℵ₀ > ℵ₀. Ordinalzahlen und Kardinalzahlen divergieren: ω + 1 > ω, aber |ω| = |ω + 1|.

Wichtige Erkenntnisse

• Natürliche Zahlen: rekursive Konstruktion aus 0 und S, |ℕ| = ℵ₀.
• Ganze und rationale Zahlen: Paare mit Äquivalenzrelationen, gleiche Mächtigkeit ℵ₀.
• Reelle Zahlen: Dedekind-Schnitte oder Cauchy-Folgen, |ℝ| = 2^ℵ₀.
• Unendlichkeiten sind nicht kommutativ: ω + 1 ≠ 1 + ω.

— Editorial Team