Budowa liczb rzeczywistych w matematyce formalnej

Formalne konstrukcje liczb rzeczywistych z podstawowych struktur

Liczby rzeczywiste ℝ w matematyce formalnej nie są wprowadzane intuicyjnie, ale poprzez stopniowe rozszerzenie liczb naturalnych. Od arytmetyki Peana, gdzie liczby buduje się z 0 i funkcji następnika S, system ewoluuje do liczb całkowitych ℤ, wymiernych ℚ, a na końcu do rzeczywistych ℝ. To eliminuje luki w definicjach i wyjaśnia 'dziwne' własności nieskończoności, takie jak niemutowanie ω + 1 ≠ 1 + ω.

Liczby naturalne definiuje się rekurencyjnie:

1 := S(0)
2 := S(S(0))
...

Dodawanie określa się za pomocą reguł:

a + 0 := a
a + S(b) := S(a + b)

To pozwala obliczyć 2 + 2 przez podstawienie: 2 + 2 = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = 4. Mnożenie wygląda podobnie:

a · 0 := 0
a · S(b) := a · b + a

Przykład: 5 · 3 = 5 · 2 + 5 = 5 · 1 + 5 + 5 = 15.

Liczby całkowite jako klasy równoważności

Liczby całkowite ℤ rozszerzają ℕ o wartości ujemne poprzez pary uporządkowane liczb naturalnych: i = (a, b), gdzie +5 = (5, 0), -5 = (0, 5). W teorii zbiorów para koduje się według Kuratowskiego: (a, b) := {{a}, {a, b}}.

Dodawanie: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d).

Mnożenie: (a, b) · (c, d) := (a·c + b·d, a·d + b·c).

Pary są równoważne, jeśli a + d = c + b. Każda liczba całkowita to klasa równoważności takich par. Moc |ℤ| = |ℕ|, ponieważ istnieje bijekcja: parzyste dla dodatnich, nieparzyste dla ujemnych.

Liczby wymierne i ich moc

Liczby wymierne ℚ to pary liczb całkowitych (a, b) z b ≠ 0, równoważne względem a·d = c·b. Mnożenie: (a, b) · (c, d) := (a·c, b·d). Dodawanie: (a, b) + (c, d) := (a·d + c·b, b·d).

|ℚ| = |ℕ|: dodatnie liczby wymierne układamy w tabelę x/y, przeszukując ją przekątniami (w kształcie szachownicy), co daje bijekcję z ℕ.

• Przekątna 1: 1/1
• Przekątna 2: 1/2, 2/1
• Przekątna 3: 3/1, 2/2, 1/3

Ignorując równoważności (np. 2/2 = 1/1), ten sposób przeszukiwania obejmuje wszystkie ℚ⁺.

Problem liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste ℝ nie sprowadzają się do par ani klas równoważności jak ℚ. Dedekind wprowadził ℝ jako cięcia liczb wymiernych: podział ℚ na A i B, gdzie ∀a∈A < ∀b∈B, A nie ma maksimum, B nie ma minimum.

Na przykład √2 odpowiada {q ∈ ℚ | q² < 2} i {q ∈ ℚ | q² ≥ 2}.

Każde cięcie jednoznacznie określa liczbę rzeczywistą. Arytmetyka na cięciach:

• Dodawanie cięć A₁∪A₂ (z racjonalną korektą).
• Mnożenie przez kwadraty.

Moc i continuum

|ℝ| > |ℚ|: argument przekątniowy Cantora. Załóżmy bijekcję f: ℕ → (0,1). Konstruujemy r takie, że r_i ≠ f(i)_i — sprzeczność.

r = 0.r₁r₂r₃...
 gdzie r_i ≠ (f(i))_i

W ten sposób continuum 2^ℵ₀ > ℵ₀. Porządkowe ω i mocy się różnią: ω + 1 > ω, ale |ω| = |ω + 1|.

Co jest ważne

• Liczby naturalne: rekursja z 0 i S, |ℕ| = ℵ₀.
• Liczby całkowite i wymierne: pary z relacją równoważności, ta sama moc ℵ₀.
• Liczby rzeczywiste: cięcia Dedekinda lub ciągi Cauchy’ego, |ℝ| = 2^ℵ₀.
• Nieskończoności nie są przemienne: ω + 1 ≠ 1 + ω.

— Editorial Team