형식 수학에서 실수의 구조

기초 구조에서 실수의 공리적 구성

실수 ℝ는 형식 수학에서 직관적으로 도입되지 않고, 자연수를 단계적으로 확장함으로써 정의된다. 페아노 산술(0과 후속 함수 S로부터 수를 구성하는 체계)을 시작으로, 정수 ℤ, 유리수 ℚ를 거쳐 마침내 실수 ℝ에 이른다. 이 접근법은 정의의 공백을 제거하고 무한의 '이상' 현상 — 예를 들어 ω + 1 ≠ 1 + ω처럼 교환 법칙이 성립하지 않는 현상 — 을 명확히 설명한다.

자연수는 재귀적으로 정의된다:

1 := S(0)
2 := S(S(0))
...

덧셈은 다음과 같은 규칙으로 정의된다:

a + 0 := a
a + S(b) := S(a + b)

이를 통해 2 + 2의 계산이 가능해진다: 2 + 2 = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = 4. 곱셈도 비슷하게 정의된다:

a · 0 := 0
a · S(b) := a · b + a

예시: 5 · 3 = 5 · 2 + 5 = 5 · 1 + 5 + 5 = 15.

정수는 동치류로 표현하기

정수 ℤ는 자연수 ℕ에 음수를 추가하여 확장한 것이다. 이를 위해 자연수 쌍 (a, b)를 사용하며, +5 = (5, 0), -5 = (0, 5)로 표현한다. 집합론에서는 쌍을 쿠라토프스키 방식으로 표현한다: (a, b) := {{a}, {a, b}}.

덧셈: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d).

곱셈: (a, b) · (c, d) := (a·c + b·d, a·d + b·c).

두 쌍이 a + d = c + b일 때 동치로 간주된다. 각 정수는 이러한 쌍들의 동치류이다. |ℤ| = |ℕ|이며, 짝수는 양수, 홀수는 음수로 대응되는 전단사 함수가 존재한다.

유리수와 그 기수성

유리수 ℚ는 정수 쌍 (a, b)로 표현되며, b ≠ 0이고, a·d = c·b일 때 동치로 간주된다. 곱셈: (a, b) · (c, d) := (a·c, b·d). 덧셈: (a, b) + (c, d) := (a·d + c·b, b·d).

|ℚ| = |ℕ|: 양의 유리수는 x/y 그리드로 배열되며, 대각선(지그재그) 방식으로 순회하면 ℕ과 전단사 관계를 갖는다.

• 대각선 1: 1/1
• 대각선 2: 1/2, 2/1
• 대각선 3: 3/1, 2/2, 1/3

서로 동치인 분수(예: 2/2 = 1/1)는 제외하고, 이 순회 방식은 모든 ℚ⁺을 커버한다.

실수의 도전: 어떻게 정의할 것인가?

실수 ℝ는 ℚ처럼 쌍이나 동치류로 줄일 수 없다. 데데킨트는 ℝ을 유리수의 절단으로 정의했다: ℚ를 두 집합 A와 B로 나누어, ∀a∈A < ∀b∈B, A에는 최대값이 없고, B에는 최소값이 없는 조건을 만족시키는 분할이다.

예를 들어 √2는 {q ∈ ℚ | q² < 2}와 {q ∈ ℚ | q² ≥ 2}로 표현된다.

각 절단은 고유한 실수를 정의한다. 절단 위의 연산은 다음과 같다:

• 덧셈: A₁ ∪ A₂ (유리수 보정 필요).
• 곱셈: 제곱을 이용해 정의.

기수와 연속체

|ℝ| > |ℚ|: 칸토르의 대각선 논법. ℕ → (0,1) 사이의 전단사 함수 f가 존재한다고 가정한다. 각 i에 대해 r_i ≠ f(i)_i인 실수 r을 구성하면 모순 발생.

r = 0.r₁r₂r₃...
where r_i ≠ (f(i))_i

따라서 연속체 2^ℵ₀ > ℵ₀. 순서수와 기수는 다를 수 있다: ω + 1 > ω이지만, |ω| = |ω + 1|이다.

핵심 요약

• 자연수: 0과 후속 함수 S로부터 재귀적 구성, |ℕ| = ℵ₀.
• 정수와 유리수: 쌍과 동치 관계로 표현, 기수는 모두 ℵ₀.
• 실수: 데데킨트 절단 또는 코시 수열로 정의, |ℝ| = 2^ℵ₀.
• 무한은 교환 법칙이 성립하지 않는다: ω + 1 ≠ 1 + ω.

— Editorial Team