Structure des nombres réels en mathématiques formelles

Construction formelle des nombres réels à partir de structures fondamentales

Les nombres réels ℝ ne sont pas introduits de manière intuitive en mathématiques formelles, mais par une extension progressive des entiers naturels. En partant de l'arithmétique de Peano — où les nombres sont construits à partir de 0 et de la fonction successeur S — le système évolue vers les entiers ℤ, les rationnels ℚ, puis les réels ℝ. Cette approche élimine les lacunes définitionnelles et clarifie les « étrangetés » de l'infini, comme la non-commutativité de ω + 1 ≠ 1 + ω.

Les entiers naturels sont définis récursivement :

1 := S(0)
2 := S(S(0))
...

L'addition est définie par des règles :

a + 0 := a
a + S(b) := S(a + b)

Cela permet de calculer 2 + 2 par substitution : 2 + 2 = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = 4. La multiplication suit un raisonnement similaire :

a · 0 := 0
a · S(b) := a · b + a

Exemple : 5 · 3 = 5 · 2 + 5 = 5 · 1 + 5 + 5 = 15.

Entiers comme classes d'équivalence

Les entiers ℤ étendent ℕ en incluant les valeurs négatives à l’aide de paires ordonnées d’entiers naturels : i = (a, b), où +5 = (5, 0) et -5 = (0, 5). En théorie des ensembles, un couple est codé via Kuratowski : (a, b) := {{a}, {a, b}}.

Addition : (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d).

Multiplication : (a, b) · (c, d) := (a·c + b·d, a·d + b·c).

Deux couples sont équivalents si a + d = c + b. Chaque entier est une classe d’équivalence de tels couples. La cardinalité |ℤ| = |ℕ|, car une bijection existe : les nombres pairs pour les positifs, les impairs pour les négatifs.

Nombres rationnels et leur cardinalité

Les rationnels ℚ sont des paires d’entiers (a, b) avec b ≠ 0, équivalentes sous la condition a·d = c·b. Multiplication : (a, b) · (c, d) := (a·c, b·d). Addition : (a, b) + (c, d) := (a·d + c·b, b·d).

|ℚ| = |ℕ| : les rationnels positifs sont disposés dans une grille x/y, parcourue en diagonale (zigzag) pour établir une bijection avec ℕ.

• Diagonale 1 : 1/1
• Diagonale 2 : 1/2, 2/1
• Diagonale 3 : 3/1, 2/2, 1/3

En ignorant les fractions équivalentes (ex. 2/2 = 1/1), ce parcours couvre tous les ℚ⁺.

Le défi des nombres réels

Les nombres réels ℝ ne peuvent pas être réduits à des paires ou classes d’équivalence comme ℚ. Dedekind les a définis comme des coupures des rationnels : une partition de ℚ en deux ensembles A et B tel que ∀a∈A < ∀b∈B, A n’a pas de maximum, et B n’a pas de minimum.

Par exemple, √2 correspond à {q ∈ ℚ | q² < 2} et {q ∈ ℚ | q² ≥ 2}.

Chaque coupure définit de manière unique un nombre réel. L’arithmétique sur les coupures :

• Addition : A₁ ∪ A₂ (avec correction rationnelle).
• Multiplication : via les carrés.

Cardinalité et continu

|ℝ| > |ℚ| : argument diagonal de Cantor. Supposons une bijection f : ℕ → (0,1). Construisons r tel que r_i ≠ f(i)_i — contradiction.

r = 0.r₁r₂r₃...
 où r_i ≠ (f(i))_i

Ainsi, le continu 2^ℵ₀ > ℵ₀. Les ordinaux et cardinaux divergent : ω + 1 > ω, mais |ω| = |ω + 1|.

Points clés

• Entiers naturels : construction récursive à partir de 0 et S, |ℕ| = ℵ₀.
• Entiers et rationnels : paires avec relations d’équivalence, même cardinalité ℵ₀.
• Réels : coupures de Dedekind ou suites de Cauchy, |ℝ| = 2^ℵ₀.
• L’infini n’est pas commutatif : ω + 1 ≠ 1 + ω.

— Editorial Team