形式数学中实数的结构

从基础结构出发的形式化实数构造

在形式数学中，实数 ℝ 并非通过直观引入，而是通过自然数的逐步扩展来构建。从皮亚诺算术开始——数字由 0 和后继函数 S 构建——系统依次发展为整数 ℤ、有理数 ℚ，最终形成实数 ℝ。这种方法消除了定义上的空白，清晰解释了无穷的‘怪异’现象，例如 ω + 1 ≠ 1 + ω 的非交换性。

自然数通过递归方式定义：

1 := S(0)
2 := S(S(0))
...

加法定义如下规则：

a + 0 := a
a + S(b) := S(a + b)

这允许通过代入计算 2 + 2：2 + 2 = S(S(2 + 0)) = S(S(2)) = 4。乘法也遵循类似逻辑：

a · 0 := 0
a · S(b) := a · b + a

示例：5 · 3 = 5 · 2 + 5 = 5 · 1 + 5 + 5 = 15。

整数作为等价类

整数 ℤ 通过自然数的有序对扩展而来，引入负数：i = (a, b)，其中 +5 = (5, 0)，-5 = (0, 5)。在集合论中，一对元素通过库拉托夫斯基编码表示：(a, b) := {{a}, {a, b}}。

加法：(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)。

乘法：(a, b) · (c, d) := (a·c + b·d, a·d + b·c)。

当 a + d = c + b 时，两个有序对被视为等价。每个整数都是此类有序对的等价类。|ℤ| = |ℕ|，因为存在双射：偶数对应正数，奇数对应负数。

有理数及其基数

有理数 ℚ 是由整数对 (a, b) 构成，其中 b ≠ 0，且在 a·d = c·b 条件下等价。乘法定义为：(a, b) · (c, d) := (a·c, b·d)。加法为：(a, b) + (c, d) := (a·d + c·b, b·d)。

|ℚ| = |ℕ|：正有理数可排列成 x/y 网格，沿对角线（锯齿状）遍历，从而与 ℕ 建立双射关系。

• 对角线 1：1/1
• 对角线 2：1/2, 2/1
• 对角线 3：3/1, 2/2, 1/3

忽略等价分数（如 2/2 = 1/1），这种遍历覆盖了所有 ℚ⁺。

实数的挑战

实数 ℝ 无法像 ℚ 那样简化为有序对或等价类。戴德金提出将 ℝ 定义为有理数的“分割”：将 ℚ 划分为两个集合 A 和 B，满足 ∀a∈A < ∀b∈B，A 无最大值，B 无最小值。

例如，√2 对应于 {q ∈ ℚ | q² < 2} 与 {q ∈ ℚ | q² ≥ 2} 的划分。

每个分割唯一确定一个实数。对分割进行算术运算：

• 加法：A₁ ∪ A₂（需有理数修正）。
• 乘法：通过平方实现。

基数与连续统

|ℝ| > |ℚ|：康托对角论证法。假设存在双射 f: ℕ → (0,1)。构造实数 r，使得第 i 位小数 r_i ≠ f(i)_i —— 导致矛盾。

r = 0.r₁r₂r₃...
其中 r_i ≠ (f(i))_i

因此，连续统 2^ℵ₀ > ℵ₀。序数与基数出现分歧：ω + 1 > ω，但 |ω| = |ω + 1|。

核心要点

• 自然数：从 0 和后继函数递归构造，|ℕ| = ℵ₀。
• 整数与有理数：基于有序对与等价关系，基数均为 ℵ₀。
• 实数：通过戴德金分割或柯西序列构造，|ℝ| = 2^ℵ₀。
• 无穷大具有非交换性：ω + 1 ≠ 1 + ω。

— Editorial Team